Matematické Fórum

xstudentíkx · 05. 04. 2015 16:39

Ahoj,

Mám zde primitivní úlohu na posloupnosti, kterou dám bez překážek z hlavy, nicméně potřebuji vědět jak to vyřešit pomocí sečtení/vynásobení obou stran, atd., či nějaký jiný postup jak tento příklad vyřešit. Kromě vypsání několika členů posloupnosti a z pozorování určit vzorec.....

$a_{1}=2$

$a_{2}=4$

$a_{n+1}=\frac{4}{3}(a_{n}+a_{n-1})$

výsledek je samozřejmě $a_{n}=2^{n}$

Předem děkuji

misaH · 05. 04. 2015 17:50

↑ xstudentíkx:

Indukciou?

Priamo, tak, že si "tipneš"?

Al1 · 05. 04. 2015 18:24

↑ xstudentíkx:

Jediné, co mě napadá, je zjednodušit rekurentní vzorec na
$a_{1}=2$
$a_{n+1}=2a_{n}$ .

Pak
$a_{2}=2a_{1}$
$a_{3}=2a_{2}$
.
.
.
$a_{n}=2a_{n-1}$ .

Když vynásobíš vše z levých stran a z pravých stran

$a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots a_{n}=2a_{1}\cdot 2a_{2}\cdot \ldots 2a_{n-1}$

Po zkrácení

$a_{n}=2^{n-1}\cdot a_{1}$
$a_{n}=2^{n-1}\cdot 2$
$a_{n}=2^{n}$

misaH · 05. 04. 2015 18:33 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:37)

↑ Al1:

:-)

Ale ... Kde sú $\frac 43$ ?

Povedal si si, že je to $2^n$ , tak si si urobil $2^n$ - nie?

Al1 · 05. 04. 2015 18:41

↑ misaH:

Čti, prosím, pozorně. Převedl jsem rekurentní vzorec na jiný, kterým jsem dokázal odhadnutý vzorec xstudentíkx pomocí požadovaného sečtení/vynásobení obou stran, vím, že nedokazuji původní zadání!!!

xstudentíkx

↑ misaH:

"Tipnutím" jsem to "uhodla", zajímalo mě to co poslal ↑ Al1:, akorát zda to jde nějak i bez toho zjednodušení.....(Nicméně předpokládám, že by to bylo zbytečně obtížné a asi se to nevyužívá)

↑ Al1:Za to zjednodušení děkuji, nenapadlo mě to....

misaH · 05. 04. 2015 18:42 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:45)

↑ Al1:

Dobre, ako chceš, mne to je úplne jedno ...

Al1 · 05. 04. 2015 21:26 — Editoval Al1 (05. 04. 2015 21:45)

↑ xstudentíkx:

Úlohu je možné vyřešit pomocí vytvořující funkce. Pokud tě to zajímá

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Více na Odkaz

xstudentíkx · 05. 04. 2015 22:00

↑ Al1:

Smekám.....Opravdu moc pěkné :)

S mými znalostmi nerozumím všemu, ale část chápu a hlavně si cením, že jsi to udělal.

Děkuji za odkaz, ten zdroj vypadá pro mě celkem přijatelně. Akorát by se vyplatilo umět trochu s derivací....Takže zatím to asi nechám na později, jelikož nerada dělám něco jen tak s částečným porozuměním.

Moc děkuji :)

byk7 · 05. 04. 2015 22:40

Neřekl bych, že se znalost vytvořujících funkcí na SŠ předpokládá, (tím samozřejmě neříkám, že to není možná cesta k řešení). Co jsem se se středoškolskými příklady na rekurentní setkal, tak šlo o tipnutí si výsledku a následném důkazu indukcí. Tak se totiž z tipu stává regulérní, podložený výsledek.

Došla jsi tedy na to, že by teoreticky mohlo platit $a_n=2^n$ . Zkusme to tedy dokázat.
1) Pro $n=1$ , resp. $n=2$ , platí $a_1=2^1=2, a_2=2^2=4$ , což se shoduje se zadáním.
2) Předpokládejme, že pro všechna $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ platí $a_k=2^k$ , a podívejme se na (n+1)-tý člen:
$a_{n+1}=\frac{4}{3}$a_n+a_{n-1}$=\frac{4}{3}$2^n+2^{n-1}$=\frac{4}{3}\cdot 2^{n-1}\cdot(2+1)=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}$ ,
čímž je důkaz indukcí hotov.

misaH · 05. 04. 2015 22:45 — Editoval misaH (05. 04. 2015 22:46)

↑ byk7:

:-)

Nechceli to ...

xstudentíkx · 05. 04. 2015 23:35

↑ byk7:

Však já vím jak se provádí důkaz indukcí :)

Na SŠ nejspíš ne. Ačkoliv jsem studentkou SŠ, tak studuji matematiku vyloženě sama a bohužel se jinde než u SŠ začít nedá. Tím pádem cením i takové materiály, které se snad brzy doučím (mám to v plánu).

Ty vytvořující funkce nepochybně znáš a jsi zatím také studentem SŠ (i když lepší než třeba já) :)

↑ misaH:

:)

jarrro · 06. 04. 2015 12:08

alebo sa ešte môže hľadať riešenie v tvare $a^n$ potom
$a^{n+1}=\frac{4}{3}$a^{n}+a^{n-1}$\nl a^2=\frac{4a}{3}+\frac{4}{3}\nl 3a^2-4a-4=0\nl a=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{6}=\begin{cases} -\frac{2}{3} & \\ 2 &\end{cases}\nl a_n=c_1$-\frac{2}{3}$^n+c_22^n\nl a_1=-\frac{2c_1}{3}+2c_2\nl a_2=\frac{4c_1}{9}+4c_2\nl $\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$c_1=a_2-2a_1\nl c_1=\frac{9$a_2-2a_1$}{16}\nl c_2=\frac{3a_2+2a_1}{16}\nl a_n=2^{n-4}$\frac{\(-1$^n$a_2-2a_1$}{3^{n-2}}+3a_2+2a_1\)$

xstudentíkx · 07. 04. 2015 16:41

↑ jarrro:

Rovněž děkuji, tomuto postupu rozumím o dost lépe :)

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2015 16:39

Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#2 05. 04. 2015 17:50

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#3 05. 04. 2015 18:24

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#4 05. 04. 2015 18:33 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:37)

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#5 05. 04. 2015 18:41

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#6 05. 04. 2015 18:42 — Editoval xstudentíkx (05. 04. 2015 18:43)

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#7 05. 04. 2015 18:42 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:45)

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#8 05. 04. 2015 21:26 — Editoval Al1 (05. 04. 2015 21:45)

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#9 05. 04. 2015 22:00

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#10 05. 04. 2015 22:40

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#11 05. 04. 2015 22:45 — Editoval misaH (05. 04. 2015 22:46)

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#12 05. 04. 2015 23:35

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#13 06. 04. 2015 12:08

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#14 07. 04. 2015 16:41

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

Zápatí