Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 04. 2015 16:39

xstudentíkx
Příspěvky: 962
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

Ahoj,

Mám zde primitivní úlohu na posloupnosti, kterou dám bez překážek z hlavy, nicméně potřebuji vědět jak to vyřešit pomocí sečtení/vynásobení obou stran, atd., či nějaký jiný postup jak tento příklad vyřešit. Kromě vypsání několika členů posloupnosti a z pozorování určit vzorec.....

$a_{1}=2$

$a_{2}=4$

$a_{n+1}=\frac{4}{3}(a_{n}+a_{n-1})$

výsledek je samozřejmě $a_{n}=2^{n}$

Předem děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) xstudentíkx)

#2 05. 04. 2015 17:50

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ xstudentíkx:

Indukciou?

Priamo, tak, že si "tipneš"?

Offline

 

#3 05. 04. 2015 18:24

Al1
Příspěvky: 7711
Reputace:   538 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ xstudentíkx:

Jediné, co mě napadá, je zjednodušit rekurentní vzorec na
$a_{1}=2$
$a_{n+1}=2a_{n}$.

Pak
$a_{2}=2a_{1}$
$a_{3}=2a_{2}$
.
.
.
$a_{n}=2a_{n-1}$.

Když vynásobíš vše z levých stran a z pravých stran

$a_{2}\cdot a_{3}\cdot \ldots a_{n}=2a_{1}\cdot 2a_{2}\cdot \ldots 2a_{n-1}$

Po zkrácení

$a_{n}=2^{n-1}\cdot a_{1}$
$a_{n}=2^{n-1}\cdot 2$
$a_{n}=2^{n}$

Offline

 

#4 05. 04. 2015 18:33 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:37)

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ Al1:

:-)

Ale ... Kde sú $\frac 43$ ?

Povedal si si, že je to $2^n$, tak si si urobil $2^n$ - nie?

Offline

 

#5 05. 04. 2015 18:41

Al1
Příspěvky: 7711
Reputace:   538 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ misaH:

Čti, prosím, pozorně. Převedl jsem rekurentní vzorec na jiný, kterým jsem dokázal odhadnutý vzorec xstudentíkx pomocí požadovaného sečtení/vynásobení obou stran, vím, že nedokazuji původní zadání!!!

Offline

 

#6 05. 04. 2015 18:42 — Editoval xstudentíkx (05. 04. 2015 18:43)

xstudentíkx
Příspěvky: 962
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ misaH:

"Tipnutím" jsem to "uhodla", zajímalo mě to co poslal ↑ Al1:, akorát zda to jde nějak i bez toho zjednodušení.....(Nicméně předpokládám, že by to bylo zbytečně obtížné a asi se to nevyužívá)

↑ Al1:Za to zjednodušení děkuji, nenapadlo mě to....

Offline

 

#7 05. 04. 2015 18:42 — Editoval misaH (05. 04. 2015 18:45)

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ Al1:

Dobre, ako chceš, mne to je úplne jedno ...

Offline

 

#8 05. 04. 2015 21:26 — Editoval Al1 (05. 04. 2015 21:45)

Al1
Příspěvky: 7711
Reputace:   538 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ xstudentíkx:

Úlohu je možné vyřešit pomocí vytvořující funkce. Pokud tě to zajímá



Více na Odkaz

Offline

 

#9 05. 04. 2015 22:00

xstudentíkx
Příspěvky: 962
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ Al1:

Smekám.....Opravdu moc pěkné :)

S mými znalostmi nerozumím všemu, ale část chápu a hlavně si cením, že jsi to udělal.

Děkuji za odkaz, ten zdroj vypadá pro mě celkem přijatelně. Akorát by se vyplatilo umět trochu s derivací....Takže zatím to asi nechám na později, jelikož nerada dělám něco jen tak s částečným porozuměním.

Moc děkuji :)

Offline

 

#10 05. 04. 2015 22:40

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4713
Reputace:   221 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

Neřekl bych, že se znalost vytvořujících funkcí na SŠ předpokládá, (tím samozřejmě neříkám, že to není možná cesta k řešení). Co jsem se se středoškolskými příklady na rekurentní setkal, tak šlo o tipnutí si výsledku a následném důkazu indukcí. Tak se totiž z tipu stává regulérní, podložený výsledek.

Došla jsi tedy na to, že by teoreticky mohlo platit $a_n=2^n$. Zkusme to tedy dokázat.
1) Pro $n=1$, resp. $n=2$, platí $a_1=2^1=2, a_2=2^2=4$, což se shoduje se zadáním.
2) Předpokládejme, že pro všechna $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ platí $a_k=2^k$, a podívejme se na (n+1)-tý člen:
$a_{n+1}=\frac{4}{3}\(a_n+a_{n-1}\)=\frac{4}{3}\(2^n+2^{n-1}\)=\frac{4}{3}\cdot 2^{n-1}\cdot(2+1)=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}$,
čímž je důkaz indukcí hotov.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#11 05. 04. 2015 22:45 — Editoval misaH (05. 04. 2015 22:46)

misaH
Příspěvky: 13153
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ byk7:

:-)

Nechceli to ...

Offline

 

#12 05. 04. 2015 23:35

xstudentíkx
Příspěvky: 962
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ byk7:

Však já vím jak se provádí důkaz indukcí :)

Na SŠ nejspíš ne. Ačkoliv jsem studentkou SŠ, tak studuji matematiku vyloženě sama a bohužel se jinde než u SŠ začít nedá. Tím pádem cením i takové materiály, které se snad brzy doučím (mám to v plánu).

Ty vytvořující funkce nepochybně znáš a jsi zatím také studentem SŠ (i když lepší než třeba já) :)

↑ misaH:

:)

Offline

 

#13 06. 04. 2015 12:08

jarrro
Příspěvky: 5419
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

alebo sa ešte môže hľadať riešenie v tvare $a^n$ potom
$a^{n+1}=\frac{4}{3}\(a^{n}+a^{n-1}\)\nl
a^2=\frac{4a}{3}+\frac{4}{3}\nl
3a^2-4a-4=0\nl
a=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{6}=\begin{cases} -\frac{2}{3} & \\ 2 &\end{cases}\nl
a_n=c_1\(-\frac{2}{3}\)^n+c_22^n\nl
a_1=-\frac{2c_1}{3}+2c_2\nl
a_2=\frac{4c_1}{9}+4c_2\nl
\(\frac{4}{3}+\frac{4}{9}\)c_1=a_2-2a_1\nl
c_1=\frac{9\(a_2-2a_1\)}{16}\nl
c_2=\frac{3a_2+2a_1}{16}\nl
a_n=2^{n-4}\(\frac{\(-1\)^n\(a_2-2a_1\)}{3^{n-2}}+3a_2+2a_1\)$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#14 07. 04. 2015 16:41

xstudentíkx
Příspěvky: 962
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   26 
 

Re: Z rekurentní posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:

Rovněž děkuji, tomuto postupu rozumím o dost lépe :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson