Matematické Fórum

112Lukas112 · 06. 04. 2015 22:14

Je dán ostrý úhel XVY a jeho vnitřní bod C. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby vrchol A ležel na polopřímce VX a vrchol B na polopřímce VY, a zároveň, aby obvod trojúhelníka byl minimální.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/50994_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Je to příklad ohledně osové souměrnosti, takže jsem takhle náhodně zkusil udělat osy ramen úhlu XVY tak, aby protínaly bod C. Průsečíky K a L jsem podle těchto os překlopil, a tak vznikly body A, B. Vypadá to reálně, jen nevím, jak dokázat, že tento trojúhelník je ten s nejmenším obsahem. Pls help.
PS: Nechci odpověď typu "Využij vlastnosti osové souměrnosti" nebo "Použij větu o podobnosti trojúhelníku". Není problém vědět, co použít. Problém je právě to použít.

Eratosthenes · 06. 04. 2015 22:56

ahoj ↑ 112Lukas112:,

zobraz bod C v osových souměrnostech s osami v daných přímkách. Pomůže to?

112Lukas112 · 07. 04. 2015 07:02

Nevím, kterou přímku myslíš tou "danou přímkou". Ale jestli myslíš ramena úhlu, čili $O(<–>VX): C ––> C' a O(<–>VY): C ––> C''$ tak dobře, ale pořád nevím, jak dokázat, proč ten trojúhelník bude mít zrovna v tomto případě nejměnší obvod.

byk7 · 07. 04. 2015 08:11

Pomocný příklad: V rovině je dána přímka $p$ a v jedné z polorovin určených touto přímkou leží body $E, F$ (které na přímce neleží). Najděte všechny body $X$ na přímce $p$ , pro něž je součet $|EX|+|FX|$ minimální.

Pokud tento příklad vyřešíš, dostaneš zdůvodnění minimality, které už lehce převedeš na svůj příklad. Pokud se ti vyřešit nepodaří, dej vědět. :-)

Al1 · 07. 04. 2015 08:14

↑ 112Lukas112:

Všimni si trojúhelníků CAC´ a CBC´´. Jaké mají vlastnosti? A z nich plyne ten nejmenší obvod.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak · 07. 04. 2015 11:12

↑ 112Lukas112:

Rozbor úlohy:

Když body $A, B$ na příslušných polopřímkách zvolíme napřed "zkusmo" a sestrojíme obrazy $C' , C''$ , bodu $C$
tak, jak poradil kolega ↑ Eratosthenes:, dostaneme lomenou čáru $C'\!\!ABC''$ (případně $C''\!\!ABC'$ podle volby
označení), jejíž délka bude rovna obvodu trojúhelníka $ABC$ . Kdy bude tato délka minimální ?

Eratosthenes · 07. 04. 2015 15:00

ahoj ↑ 112Lukas112:,

zkusme úlohu zjednodušit: Máš dány body B, C a bod A má ležet na p tak, aby ABC měl nejmenší obvod:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/11430_ULOHA0.png

Stranu BC zkrátit nemůžeš, takže jde o to, najít na p bod A tak, aby cesta "z B do C přes p" byla co nejkratší. Takže promysli následující obrázek:

112Lukas112 · 07. 04. 2015 15:02

Když body lomené čáry budou v jedné přímce, že? Díky moc Rumburak :-) Tady je to moje řešení pro kontrolu
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-04/11733_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

112Lukas112 · 07. 04. 2015 15:03

↑ Eratosthenes: JJ, takovýto příkald je přesně v učebnici, to chápu. Ale neuměl jsem to vztáhnout na tento případ :-)

Rumburak · 07. 04. 2015 15:29

↑ 112Lukas112:

Ano, toto je správně. :-)

byk7 · 16. 06. 2020 21:15

↑ Kozisek01:

Ahoj, přečti si prosím body 2 a 3 závazných pravidel a zjednej nápravu, děkuji. :)

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2015 22:14

Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#2 06. 04. 2015 22:56

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#3 07. 04. 2015 07:02

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#4 07. 04. 2015 08:11

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#5 07. 04. 2015 08:14

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#6 07. 04. 2015 11:12

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#7 07. 04. 2015 15:00

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#8 07. 04. 2015 15:02

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#9 07. 04. 2015 15:03

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#10 07. 04. 2015 15:29

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

#11 16. 06. 2020 21:12 Příspěvek uživatele Kozisek01 byl skryt uživatelem byk7.

#12 16. 06. 2020 21:15

Re: Trojúhelník s co nemenším obvodem v ostrém úhlu (osová souměrnost)

Zápatí