Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
při procházení Rudinovy knihy Analýza v reálném a komplexním oboru (třetí "modrá" edice) jsem se nějak zasekl na důkazu Mittag-Lefflerovi věty (věta 13.10, strana 302 v českém vydání).
Nemůžu totiž přijít na to, jak věta 13.6 implikuje existenci racionální funkce $R_n$ , která má všechny póly mimo $\Omega$ (je to hned nad nerovností $(2)$ ). Mohl bych samozřejmě použít 13.6 přímo na kompakt $K_{n - 1}$ , ale pak bych jen věděl, že $R_n$ má póly mimo $K_{n - 1}$ , což mi nestačí.

Asi to bude něco triviálního, ale stále se to přede mnou úspěšně skrývá... Děkuji za jakoukoliv radu!

Věta 13.6:

Nechť $K$ je kompaktní množina v $\mathbb{C}$ a $\{\alpha_j\}$ je množina bodů obsahující jeden bod z každé komponenty souvislosti množiny $S^2\setminus K$ . Pokud $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ je otevřená, $K\subseteq\Omega$ , $f\in H\left(\Omega\right)$ ,
a $\epsilon > 0$ ,pak existuje racionální funkce $R$ , jejíž všechny póly leží v předepsané množině $\{\alpha_j\}$ , taková, že $|f(z) - R(z)| < \epsilon$ pro každé $z\in K$ .

Důkaz 13.10 v anglickém vydání (české je jen překlad slovo od slova):

OiBobik

↑ Mihulik:

Ahoj,

pravděpodobně jsem ti totéž odpovídal na MathSE, ale pro jistotu to hodím ještě sem:

Zásadní asi bude informace, že

Každá komponenta $\mathbb{S}\setminus K_n$ obsahuje komponentu $\mathbb{S}\setminus \Omega$ .

- tedy: každá díra v $K_n$ vynikla tak, že "obkrojuje" díru v $\Omega$ .

Díky tomu je možné body $\alpha_j$ z věty 13.6 vybrat nejen uvnitř každé komponenty $\mathbb{S}\setminus K_{n-1}$ , ale dokonce tak, aby každý ležel v nějaké komponentě $\mathbb{S} \setminus \Omega$ . Pak budou všechny póly $R_n$ ležet v $\mathbb{S}\setminus \Omega$ , tedy mimo $\Omega$ .

Mihulik · 26. 04. 2015 10:26

↑ OiBobik:
To je ono! Díky moc:-)

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2015 22:51 — Editoval Mihulik (25. 04. 2015 22:54)

Problém s důkazem Mittag-Lefflerovy věty

#2 26. 04. 2015 08:38 — Editoval OiBobik (26. 04. 2015 09:18)

Re: Problém s důkazem Mittag-Lefflerovy věty

#3 26. 04. 2015 10:26

Re: Problém s důkazem Mittag-Lefflerovy věty

Zápatí