Matematické Fórum

Ajinka7 · 25. 04. 2015 14:01

Prosím poraďte jak vypočítat integrál
sinx cosx dx
Vychazímy 1/2sin^2x +c

Ve výsledku mají -1/4cos2x +c

gadgetka

Ahoj, mrkni sem: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=107681

Al1 · 25. 04. 2015 19:28

↑ Ajinka7:

Integrál můžeš spočítat třemi způsoby
a) per partes

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

b) substituce

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

c) úprava goniometrického výrazu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ajinka7 · 26. 04. 2015 10:12

↑ Al1:
To vím tak jsem to i spočítala ale nevím jestli ten výsledek mají špatně oni nebo já. Podle výsledku to má být -1/4cos2x+c
Tak mě zajímá jak k tomu došli. Jinak děkuji za pomoc

Jj · 26. 04. 2015 10:36 — Editoval Jj (26. 04. 2015 10:48)

↑ Ajinka7:

Dobrý den.

Pokud je integrace správně, musíte při derivaci výsledku dostat původní integrand:

$$\frac{1}{2}\sin^2x +C$'=\frac{1}{2}\cdot 2 \sin x cos x + 0 = \sin x \cos x$

$$-\frac{1}{4}\cos 2x +C$'=-\frac{1}{4}\cdot 2 \cdot (-\sin 2x) + 0=\sin x \cos x$

Takže oba výsledky jsou správně.

To při integraci není nic až tak neobvyklého - pokud je rozdíl výsledků konstanta.

V tomto případě

$-\frac{1}{4}\cos 2x=-\frac{1}{4}(\cos^2x-\sin^2x)=-\frac{1}{4}(1-2\sin^2x)=\sin x \cos x -\frac{1}{4}$

Edit - doplněno.

Kolega tady ↑ Al1: uvádí pod bodem a) i třetí správný výsledek.

K výsledku $-\frac{1}{4}\cos 2x +C$ mohli dojít např. takto:

$\int \sin x \cos x\, dx =\frac{1}{2} \int \sin 2x \,dx=\frac{1}{2} \cdot \frac{-\cos 2x}{2}+C$

Eratosthenes · 26. 04. 2015 10:41

ahoj ↑ Ajinka7:

máš to dobře - použiješ-li substituci, je to vidět zpaměti. Ke tvaru ve výsledcích dojdeš tak, že použiješ vzorec pro poloviční (!) úhel (x = alfa/2) a rozdíl "skryješ" do integrační konstanty (možná to tak vychází, když to spočítáš per partes).

Eratosthenes · 26. 04. 2015 10:42

↑ Jj:

omlouvám se - přišel jsem pozdě, ale už to tam nechám.

Al1 · 26. 04. 2015 10:44

↑ Ajinka7:

Pokud se podíváte na můj třetí postup, naleznete jako jeden z výsledků právě -1/4cos2x+c. Čtěte, prosím, pozorně odpovědi. Děkuji.

Jj · 26. 04. 2015 10:51

Zdravím všechny - tak jsme se prakticky najednou rozepsali ... :)

Ajinka7 · 26. 04. 2015 11:02

Děkuji všem za vysvětlení

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2015 14:01

Integrál

#2 25. 04. 2015 14:08 — Editoval gadgetka (25. 04. 2015 14:10)

Re: Integrál

#3 25. 04. 2015 19:28

Re: Integrál

#4 26. 04. 2015 10:12

Re: Integrál

#5 26. 04. 2015 10:36 — Editoval Jj (26. 04. 2015 10:48)

Re: Integrál

#6 26. 04. 2015 10:41

Re: Integrál

#7 26. 04. 2015 10:42

Re: Integrál

#8 26. 04. 2015 10:44

Re: Integrál

#9 26. 04. 2015 10:51

Re: Integrál

#10 26. 04. 2015 11:02

Re: Integrál

Zápatí