Matematické Fórum

Nia · 11. 05. 2015 02:42

ahoj/dobrý den,

mám tu jeden vyřešený příklad,
nechápu stanovení mezí pro integrály
nevíte někdo, proč je nárysem čtvrtkruh?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/04667_reseny.GIF

děkuju za snahu a čas, který mi věnujete

Rumburak

↑ Nia:

Ahoj.

Mně ten jejich výklad také nepřipadá dvakrát srozumitelný. Důležité je popsat naše těleso $T$ pomocí soustavy nerovnic.

Rozborem rovnic těch ploch a pomocí náčtku zjisíme, že těleso $T$ je průnikem dvou jednodušších množin:

- koule určené nerovnicí

(1) $x^2 + y^2 + (z-1)^2 < 1$

(ohraničené kulovou plochou o rovnici $x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1$ ),

- množinou určenou nerovnicí

(2) $\sqrt{x^2 + y^2} < z$

(je to jakýsi rotační kužel o nekonečné "výšce" rozvírající se ve směru osy z, která je zároveň i osou tohoto tělesa).

Na prostředním obrázku je modře vyznačen průmět (do roviny Pxz) nikoliv celého tělesa $T$ , ale pouze jeho poloviny
pro $x > 0$ .

Meze pro jednorozměrné integrály získané z Fubiniovy věty plynou z nerovnic (1), (2).

Nia · 11. 05. 2015 10:39 — Editoval Nia (11. 05. 2015 10:42)

ahoj/dobrý den,

díky, tak nějak jsem tušila, o jaká tělesa jde. Nepochopila jsem, proč je zobrazen průmět jen poloviny tělesa - měla jsem totiž pocit, že na základě toho jsou určeny ty meze. Já bych třeba $\psi$ volila od nuly do pí, ale to je evidentně chybně.

Ale jak píšete vy, tak stačí ty transformované meze dosadit do rovnic a vypočítat. - Tomu jsem se původně chtěla tak trochu vyhnout a najít jednodušší řešení, ale třeba to jinak nejde: )

Děkuju moc za rady!

Rumburak

↑ Nia:

To těleso $T$ je symetrické podle roviny $x = 0$ , stačí tedy spočítat objem jeho poloviny pro $x > 0$ a tento mezivýsledek
vynásobit dvěma.

Těleso $T$ je symetrické i podle roviny $y = 0$ , stačí tedy spočítat objem jeho čtvrtiny pro $x > 0, y > 0$ a tento
mezivýsledek vynásobit čtyřma.

Z početního hlediska bych se asi přiklonil ke druhé z těchto variant, ale nejde o věc zásadního významu, řekl bych.

Ale bude, myslím, výhodné rozdělit výpočet na kulovou část (sférické souřadnice) a kuželovou část (cylindrické souřadnice).

Nia · 11. 05. 2015 11:07 — Editoval Nia (11. 05. 2015 11:21)

Jasně:) Tak teď už chápu proč je nárysem čtvrtkruh: )

To je pravda - to rozdělení je asi lepší!

Ale kdybych se podívala na to stávající řešení - počítala bych s tím čtvrtkruhem, proč $\psi$ není od nuly do pí? Na základě obrázku níže bych řekla, že by to tak být mělo.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-05/35047_uhly.PNG

Rumburak · 11. 05. 2015 11:32

↑ Nia:

Střed těch jejich sférických souřadnic je totožný s počátkem soustavy souřadnic a nikoliv se středem koule.

Nia · 11. 05. 2015 11:46 — Editoval Nia (11. 05. 2015 11:53)

Aha! Tak to je pro mě cenná informace. Díky, to mi moc pomohlo!

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2015 02:42

meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#2 11. 05. 2015 10:31 — Editoval Rumburak (11. 05. 2015 10:38)

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#3 11. 05. 2015 10:39 — Editoval Nia (11. 05. 2015 10:42)

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#4 11. 05. 2015 10:51 — Editoval Rumburak (11. 05. 2015 10:55)

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#5 11. 05. 2015 11:07 — Editoval Nia (11. 05. 2015 11:21)

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#6 11. 05. 2015 11:32

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

#7 11. 05. 2015 11:46 — Editoval Nia (11. 05. 2015 11:53)

Re: meze kulových (sférických) souřadic - příklad je vyřešený

Zápatí