Matematické Fórum

malarad

Dobrý den, vypočítal jsem příklad pomocí rovnice kružnice(soustava rovnice přímky a kružnice), ale zajímalo by mě, jestli lze příklad vypočítat i BEZ užití rovnice kružnice.
Zadání:
Na přímce $p:x-2y+1=0$ určete všechny body, které mají od bodu $A[1,1]$ vzdálenost $d=\sqrt{5}$
děkuji

Freedy · 31. 05. 2015 19:10

Ahoj,

tak vzdálenost dvou bodů v rovině je definována jako:
$d=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$
Jeden bod máš $A=[a_1;a_2] = [1;1]$ . Druhý bod, který leží na přímce p, má souřadnice $B=[b_1;b_2] = [2y-1;y]$ .
Když dosadíš do výše uvedené rovnice, dostáváš:
$5=((2y-1)-1)^2 + (y-1)^2$ > vyjdou dvě řešení

misaH · 31. 05. 2015 19:35 — Editoval misaH (31. 05. 2015 19:37)

↑ Freedy:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy · 31. 05. 2015 19:55

spíš naopak... rovnice kružnice je zakamuflovaný vzorec pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v prostoru.
Autor dle mého názoru počítal průsečíky kružnice se středem v [1;1] a poloměrem odmocnina z 5. Toto je trošku něco jiného.

Al1 · 31. 05. 2015 21:20

↑ malarad:

Můžeš pracovat se směrovým vektorem dané přímky, který má souřadnice (2; 1) a velikost právě $\sqrt{5}$ . Jestliže tedy k bodu A přičteš tento vektor a podruhé k bodu A přičteš vektor opačný, dostaneš body na dané přímce příslušně vzdálené.

malarad · 01. 06. 2015 00:22

↑ Freedy:
díky

malarad · 01. 06. 2015 00:29

↑ Al1:
dík, to mě taky napadlo jako první možost, ale až po delší úvaze jsem si uvědomil, že musím do Pythagorovy věty označit odvěsny stejným písmenem, abych neměl jednu rovnici o dvou neznámých(vyjádřit je pomocí poměru směrového vektoru- $\sqrt{5}=\sqrt{(2a)^{2}+1a^{2}}$ )

malarad · 01. 06. 2015 11:53

↑ Freedy:
Ješte prosím Freedyho o vysvětlení, proč $b_{1}$ není jen $2y$ ale je $2y-1$ kde se tam vzala ta mínus jednička? Chápu, že jde o vyjádření x-ové délky pomocí y-ové délky a že x-ová délka je 2 krát větší než ta y-ová, ale ta mínus jednička mi nejde do hlavy...bohužel
$B=[b_1;b_2] = [2y-1;y]$

Cheop · 01. 06. 2015 11:56

↑ malarad:
z tohoto:
$p:x-2y+1=0$ je $x=2y-1$

malarad · 01. 06. 2015 12:12

↑ Cheop:
děkuji, akorát mi to nepřijde logické, protože jak už jsem psal, víme, že vektor je dvakrát delší ve směru x než y. Tak mi přijde intuitivní vyjádřit x pomocí y takto : $x=2y$
Ale jinak ten postup od Freedyho funguje...

Cheop · 01. 06. 2015 12:17

↑ malarad:
No vždyť ten bod B musí ležet na zadané přímce tj. souřadnice bodu musí splňovat zadanou rovnici přímky.

malarad

↑ Cheop:
už mi to taky docvaklo. Teoreticky při mém postupu, kdy bych počítal jen s tím $x=2y$ místo $2y-1$ by přímka s absolutním členem " $0$ " procházela počátekem os souřadnic a sice bych se posunul o správnou vzdálenost jak v x-ové ose, tak v y-ové ose, ale na jiné přímce...Je to tak?

Al1 · 01. 06. 2015 12:57 — Editoval Al1 (01. 06. 2015 13:00)

↑ malarad:

V případě $x=2y$ bys hledal body, které mají od A[1; 1]. který na dané přímce neleží, vzdálenost $d=\sqrt{5}$ . Úplně jiná úloha. V tom případě lze využít řešení pomocí kružnice se středem v A a poloměrem d, nebo řešení nabízeném kolegou Freedym, ale ne jednoduché řešení přes směrový vektor.

malarad · 01. 06. 2015 13:12

↑ Al1:
díky,
Já už to chápu, ale to je v podstatě vztah pro kružnici, jak poznamenala Misa :-)

Rumburak · 01. 06. 2015 13:32

↑ malarad:

Ahoj.

Pro tentýž bod $A[1,1]$ , ale přímku $p': x=2y$ , by se postup navržený kolegou ↑ Al1: musel
poněkud upravit:

1) nalézt na přímce $p'$ bod $A'$ takový, aby přímka $AA'$ byla kolmá k $p'$ ,

2) hledat na přímce $p'$ body mající od $A'$ vzdálenost $d' = \sqrt{d^2 - |AA'|^2}$ .

(Nakresli si obrázek.)

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2015 18:54 — Editoval malarad (31. 05. 2015 18:54)

analytická geometrie v rovině

#2 31. 05. 2015 19:10

Re: analytická geometrie v rovině

#3 31. 05. 2015 19:35 — Editoval misaH (31. 05. 2015 19:37)

Re: analytická geometrie v rovině

#4 31. 05. 2015 19:55

Re: analytická geometrie v rovině

#5 31. 05. 2015 21:20

Re: analytická geometrie v rovině

#6 01. 06. 2015 00:22

Re: analytická geometrie v rovině

#7 01. 06. 2015 00:29

Re: analytická geometrie v rovině

#8 01. 06. 2015 11:53

Re: analytická geometrie v rovině

#9 01. 06. 2015 11:56

Re: analytická geometrie v rovině

#10 01. 06. 2015 12:12

Re: analytická geometrie v rovině

#11 01. 06. 2015 12:17

Re: analytická geometrie v rovině

#12 01. 06. 2015 12:20 — Editoval malarad (01. 06. 2015 12:20)

Re: analytická geometrie v rovině

#13 01. 06. 2015 12:57 — Editoval Al1 (01. 06. 2015 13:00)

Re: analytická geometrie v rovině

#14 01. 06. 2015 13:12

Re: analytická geometrie v rovině

#15 01. 06. 2015 13:32

Re: analytická geometrie v rovině

Zápatí