Matematické Fórum

Ladis · 04. 06. 2015 10:09 — Editoval Ladis (04. 06. 2015 10:12)

Ahoj,

Zadání zní: Určete, zda je vektor (viz obrázek) vlastním vektorem matice.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-06/04741_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2B2015-06-04%2Bv%25C2%25A09.58.30.png

Postupoval jsem tak, že jsem si vypočítal vlastní čísla, která mi vyšla $\lambda_{1}= 3, \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 0$ .
Následně jsem pro každé vlastní číslo chtěl pokračovat klasicky ve výpočtu vlastních vektorů. Při řešení jsem se však dostal k tomu, že pro soustavy rovnic, které jsem si vytvořil pro řešení vlastních vektorů vychází nekonečně mnoho řešení. Můj dotaz je takový, zda když pro každé vlastní číslo vyjde x1, x2 a X3 = 0, zda do řešení spadá i vektor určený v zadání a odpověď na otázku je tedy ANO, i tento vektor je vlastním vektorem matice, nebo zda mi někde něco uniká.

Případně je možné se k výsledku dopracovat i důmyslnějším řešením? Jsem si samozřejmě vědom existence tohoto výrazu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-06/05258_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2B2015-06-04%2Bv%25C2%25A010.06.56.png
Nejsem schopen si náhodou na toto zadání odpověďět i bez výpočtu vlastních čísel?

Děkuji

Andrejka3 · 04. 06. 2015 10:21

↑ Ladis:
Ahoj.
Na toto zadání je snadné odpovědět. Stačí se podívat na definici vlastního vektoru.

Ladis · 04. 06. 2015 10:32

↑ Andrejka3:
Díky za reakci :),

máš na mysli to, že tedy dosadím do zmíněného vzorečku pro všechna vlastní čísla a musí mi vyjít 0? Když tedy nula nevyjde, rovnice není splněná, tento konkrétní vlastní vektor není vlastním vektorem zmíněné matice. Je to tak?

Al1 · 04. 06. 2015 10:34

Zdravím,

Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice A jsou čísla a vektory, které splňují rovnici
$Ax=\lambda x$

Ladis · 04. 06. 2015 10:36

↑ Al1:
Ahoj,

skutečně by tedy mělo stačit vypočítat vlastní čísla, dosadit do této rovnice a měl bych být schopen odpovědět. Co by se stalo, kdyby třeba pro dvě vlastní čísla rovnice vycházela a pro jedno ne? Jaká bude potom odpověď?

Andrejka3 · 04. 06. 2015 10:39

↑ Al1:
Ono je to tak: 1) vlastní číslo je každé takové číslo $\lambda$ , že k němu existuje vektor $x$ , který je nenulový a platí $Ax=\lambda x$ . Tento vektor se pak nazývá vlastním vektorem A příslušný vlastnímu číslu $\lambda$ .

Ty máš zadaný vektor $x$ , který je nenulový. Kdyby byl vlastním vektorem, pak je vlastním vektorem příslušný nějakému číslu $\lambda$ , tedy $Ax=\lambda x$ pro toto $\lambda$ . To je lehké ověřit :)

Andrejka3 · 04. 06. 2015 10:40

↑ Al1:
Reaguj prosím na témata, kde ještě není odpověď. Je to pak matoucí. Myslela jsem, že odpovídám tazateli.

Al1 · 04. 06. 2015 10:45

↑ Andrejka3:

Má odpověď je pouze poznámkou k danému tématu. A já se vždy podívám, komu odpovídám.

Ladis · 04. 06. 2015 10:45

↑ Andrejka3:
Děkuji za osvětlení :) nyní je mi to jasné (tedy doufám).
Pěkný den.

Andrejka3 · 04. 06. 2015 12:38

↑ Al1:
Bohužel, často ignoruješ snahy ostatních lidí navést tazetele k řešení tím, že odpovíš za něj. Pro příště vydrž se svými poznámkami, až bude první odpovídající hotov.

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2015 10:09 — Editoval Ladis (04. 06. 2015 10:12)

Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#2 04. 06. 2015 10:21

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#3 04. 06. 2015 10:32

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#4 04. 06. 2015 10:34

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#5 04. 06. 2015 10:35 Příspěvek uživatele Andrejka3 byl skryt uživatelem Andrejka3.

#6 04. 06. 2015 10:36

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#7 04. 06. 2015 10:39

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#8 04. 06. 2015 10:40

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#9 04. 06. 2015 10:45

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#10 04. 06. 2015 10:45

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

#11 04. 06. 2015 12:38

Re: Matice - vlastní čísla, vlastní vektory

Zápatí