Matematické Fórum

cmaja · 27. 03. 2009 16:10

potřeboval bych nějaký odkaz na sbírku příkladů, kde jsou příklady s této kapitoli řešeny. Prosím nemáte někdo?

Potřebuji totiž pomoct s tímto příkladem

jak vypadá u toho pulkruhu a usečky ten z(spruhem) z(absolutní hodnota) a dz. Nemůžu na to dojít, dosazení už tak nějak zvládnu.

Za tu sbírku bych byl moc vděčný.

lukaszh · 27. 03. 2009 20:02

↑ cmaja:
Komplexnú analýzu neovládam, niekto ti snáď aj po takom dlhom čase odpíše, ale pár mojich rád.
$|z|^2=z\cdot\overline{z}\,;\;z\in\mathbb{C}$
Tá kružnica je v komplexnej rovine

Snáď to nejako pomôže :-D a možno je to úplne od veci.

cmaja · 27. 03. 2009 23:34

lukaszh napsal(a):
↑ cmaja:

$|z|^2=z\cdot\overline{z}\,;\;z\in\mathbb{C}$
To je nějaký vzorec že to vidím poprvé?? $|z|^2=z\cdot\overline{z}$
Jestli jo tak jak vypadá vzorec pro $|z|$

A tohle nechápu tuplem.

Tak nějak nerozumím těm znakům, co představují

lukaszh · 27. 03. 2009 23:40

↑ cmaja:
Komplexné číslo sa dá vyjadriť v algebraickom tvare
$z=a+\rm{i}b$
pričom a je reálna časť a b je komplexná časť. Existuje pre ne špeciálne označenie
$a=\Re(z)\nlb=\Im(z)$

K tomu prvému:
$z\cdot\overline{z}=(a+\rm{i}b)(a-\rm{i}b)=a^2-\rm{i}^2b^2=a^2+b^2=$\sqrt{a^2+b^2}$^2=|z|^2$

O.o · 27. 03. 2009 23:41

↑ cmaja:

Tak argument funkcí je z nějakého intervalu (jde o úhly), R bude nejspíš reálná část té kružnice a to další Im (?) jako imaginární část?
Odkaz na wiki.

Ke vzorcům co nepoznáváš, tak zkus wiki, na které to opravdu je psané: Druhý odkaz na wiki.
(pozn. najdeš tam jak vztah, který uvedl lukaszh, tak i ten, ten pro absolutní hodnotu z komplexního čísla)

cmaja · 28. 03. 2009 10:40 — Editoval cmaja (28. 03. 2009 11:09)

Děkuju moc ještě kdyby jste mi vysvětlili toto
$z=e^j^t$ a s toho je $|z|=1$ proč je tomu tak?

a nebo tohle
$z=jt$ a s toho je $|z|=t$ proč je tomu tak?

$z=2*e^j^t$ $|z|=2$ nebo $|z|=4$ ???
se omlouvám ale dělám vysokou dálkově, a na tem tutoriálu nám to nějak nevysvětlil učitel, prostě jen napsal pár příkladů dal malý komentář, který nikdo nevnímal protože nikdo nestíhal psát

O.o · 28. 03. 2009 11:39

↑ cmaja:

Ahoj -),

můžu se jen zeptat, co je j, t? z bude asi komplexní číslo, že?

cmaja · 28. 03. 2009 11:42 — Editoval cmaja (28. 03. 2009 11:48)

Tak nějak jsem se dopídil k výsledku. Ta přímka od $2j$ do $-2j$ my vyšla $0$ , to jsem nekolikrát skontroloval. Ale problémi mám spíše s pul kruhem. Vypočítal jsem integral od do $\frac{\pi}{2}$ a vyšlo mi tohle $-16\pi*j$ . Však když jsem si spočítal integrál od $\frac{-\pi}{2}$ do $\frac{\pi}{2}$ vyšlo mi $16\pi*j$

Netuším vůbec který je spravný??? Nebo jsem to spočítal blbě??

lukaszh · 28. 03. 2009 11:43

↑ cmaja:
Keď už používaš na označovanie imaginárnej jednotky j, tak to budem písať aj ja, aby to zbytočne nemýlilo. Každé komplexné číslo sa dá vyjadriť v algebraickom tvare, goniometrickom tvare a v exponenciálnom tvare.
$z=a+\rm{j}\cdot b=|z|\cdot(\cos\varphi+\rm{j}\cdot\sin\varphi)=|z|\cdot\rm{e}^{\,\rm{j}\cdot\varphi}$
pričom uhol $\varphi$ je uhol, ktorý zviera komplexné číslo (ako vektor) s reálnou osou. V tvojom prípade označuješ ten uhol písmenom t, čo je vec dohody. Teda z tvojho príkladu
$z=\rm{e}^{\,\rm{j}\cdot\varphi}=1\cdot\rm{e}^{\,\rm{j}\cdot\varphi}\Rightarrow|z|=1$

cmaja · 28. 03. 2009 11:46

↑ O.o:
$z(t)=x(t)+jy(t); t \epsilon <\alpha,\beta>$

mi $i$ značíme $j$

cmaja · 28. 03. 2009 11:54

↑ lukaszh:
JJ tak to už mi dává smysl a tohle?? $z=jt$ a s toho je $|z|=t$

prosím koukl by ses mi na to co jsem napsal o výsledcích??

lukaszh · 28. 03. 2009 12:00

↑ cmaja:
O výsledcích ti nepomôžem, pretože toto ešte neovládam. Zbytočne by som ťa domýlil, iba ti môžem pomôcť so základmi o komplexných číslach. Číslo z = jt je komplexné číslo v algebraickom tvare.
$z=\rm{j}t$
Absolútna hodnota je definovaná ako dĺžka
$z=a+\rm{j}b\,;\;|z|=\sqrt{a^2+b^2}\nlz=\rm{j}t\Rightarrow|z|=\sqrt{0^2+t^2}=t$

cmaja · 28. 03. 2009 12:02

↑ lukaszh:
já jsem teda blbec:-D, už mi to je jasny, ted už to docela chápu a potřebuji pomocts tím výseledkem

O.o · 28. 03. 2009 12:04

↑ cmaja:

No někde na wiki jsem viděl absolutní hodnotu zapsanou jako odmocninu z druhých mocnin, pak tedy: z=a+jb - obecně, ve tvém případě a=0, b=t, pak $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ , dalo by se to použít?

lukaszh · 28. 03. 2009 12:05

↑ cmaja:
Marian sem raz dal zbierku alebo učebnicu o komplexných číslach http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=6597.

cmaja · 28. 03. 2009 12:31

Jo ještě bych měl jednu otázečku.
V jeny sbírce jsem našel toto:
$e^y^-^j^x=e^y(cos(-x)+j*sin(-x))=e^y(cos(x)-j*sin(x))$

proč to není takto:
$e^y^-^j^x=e^y(cos(-x)+j*sin(-x))=e^y(-cos(x)-j*sin(x))$

Určitě v tom bude nějaká triviálnost, ale jaktože to tak je??

lukaszh · 28. 03. 2009 12:33

↑ cmaja:
Pretože funkcia cosínus je párna. Naopak funkcia sínus je nepárna.

cmaja · 28. 03. 2009 12:36

↑ lukaszh:
stale jsem nepochopil :-D

lukaszh · 28. 03. 2009 12:43

↑ cmaja:
Funkcia je párna ak $f(x)=f(-x)$ a nepárna ak $-f(x)=f(-x)$ . Keďže sínus je nepárna funkcia, potom $\sin(-x)=-\sin x$ a cosínus je párny preto $\cos(-x)=\cos x$ . Tu však treba ovládať učivo o funkciách zo strednej školy. Info nájdeš aj na wiki.

SK-CZ minislovník
párny = sudý
nepárny = lichý

Rumburak

Kdyby integrovaná fce byla holomorfní v oblasti obsahující tuto uzavřenou křivku, přes kterou integrujeme, pak by integrál byl 0 podle Cauchyovy věty.
Připadá mi ale, že fce holomorfní nebude (obsahuje souměrnost dle reálné osy) , ale nezkoušel jsem to.

Návod, jak vypočítat inegrál přímo:

z = x + y*j , f(z) = u(x,y) + v(x,y)*j , dz = dx + j*dy,

f(z)*dz = u(x,y)*dx - v(x,y)*dy + j * (v(x,y)*dx + u(x,y)*dy)

Tímto převedu integraci v komplexním oboru na výpočet křivkových integrálů (tzv. "druhého typu") v rovině Pxy.
Integrační křivku rozdělíme na oblouk kružnice a její svislý průměr (tj. úsečku) atd.

Je okolo některého z těchto intrgrálů problém ?

cmaja · 30. 03. 2009 13:49 — Editoval cmaja (30. 03. 2009 13:50)

↑ Rumburak:
tak to jsem přesně udělal, ani nevím jak jinak bych to měl počítat. Ptal jsem se na něco jiného.
Cituji:

cmaja napsal(a):
Tak nějak jsem se dopídil k výsledku. Ta přímka od $2j$ do $-2j$ my vyšla $0$ , to jsem nekolikrát skontroloval. Ale problémi mám spíše s pul kruhem. Vypočítal jsem integral od $-\frac{\pi}{2}$ do $\frac{\pi}{2}$ a vyšlo mi tohle $-16\pi*j$ . Však když jsem si spočítal integrál od $\frac{-\pi}{2}$ do $\frac{\pi}{2}$ vyšlo mi $16\pi*j$

Netuším vůbec který je spravný??? Nebo jsem to spočítal blbě??

Rumburak

Mně vyšlo u(x,y) = x * (x^2 + y^2) , v(x,y) = y * (x^2 + y^2) .

I. Integrace přes <2j, -2j> : všude je x = 0 , tedy i dx = 0 , takže integrujeme od 2 do -2 (v souladu s orientací křivky) výraz y^3 *dy + j*0*dy ,
takže vyjde 0 .

II. Integrace přes oblouk. Ten je popsán parametrickou rovnicí z = 2*exp(j*t) , kde t probíhá interval <- Pi/2, Pi/2> ,
přechodem k proměnným x, y to rozepíšeme na

x = 2 * cos t , y = 2 * sin t , takže dx = - 2* sin t * dt, dy = 2*cos t * dt,

a v integrálech provedeme tuto substituci, tudíž pak u(x(t), y(t)) = 8 * cos t , v(x(t), y(t)) = 8 * sin t .

Integrujeme od - Pi/2 do Pi/2 výraz

f(z(t))*dz(t) = u(x(t),y(t))*dx(t) - v(x,y)*dy(t) + j * (v(x(t),y(t))*dx(t) + u(x(t),y(t))*dy(t)) =

= 16 * cos t * (- sin t) * dt - 16 * sin t * cos t * dt + j * ( 16 * sin t * (- sin t) * dt + 16 * cos t * cos t * dt ) =

= - 32 * sin t * cos t * dt + 16* j * ((cos t)^2 - (sin t)^2 ) * dt = -16 * sin 2t * dt + 16*j * cos 2t * dt .

Pokud jsem to spočítal správně, pak oba příslušné integrály od <- Pi/2, Pi/2> jsou 0, takže vzhledem k I. kroku i celý daný integrál je 0.

PS. O spaciální sbírce na kompl. analýzu nevím. Snad v ruském Děmidovičovi by mohlo něco být, což je sbírka příkladů na analýzu obecně.

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2009 16:10

Integrál funkce koplexní proměnné

#2 27. 03. 2009 20:02

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#3 27. 03. 2009 23:34

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

lukaszh napsal(a):

#4 27. 03. 2009 23:40

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#5 27. 03. 2009 23:41

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#6 28. 03. 2009 10:40 — Editoval cmaja (28. 03. 2009 11:09)

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#7 28. 03. 2009 11:39

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#8 28. 03. 2009 11:42 — Editoval cmaja (28. 03. 2009 11:48)

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#9 28. 03. 2009 11:43

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#10 28. 03. 2009 11:46

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#11 28. 03. 2009 11:54

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#12 28. 03. 2009 12:00

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#13 28. 03. 2009 12:02

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#14 28. 03. 2009 12:04

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#15 28. 03. 2009 12:05

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#16 28. 03. 2009 12:31

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#17 28. 03. 2009 12:33

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#18 28. 03. 2009 12:36

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#19 28. 03. 2009 12:43

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#20 30. 03. 2009 11:35 — Editoval Rumburak (30. 03. 2009 12:48)

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

#21 30. 03. 2009 13:49 — Editoval cmaja (30. 03. 2009 13:50)

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

cmaja napsal(a):

#22 30. 03. 2009 14:53 — Editoval Rumburak (30. 03. 2009 15:13)

Re: Integrál funkce koplexní proměnné

Zápatí