Matematické Fórum

Klara-Novotna · 18. 11. 2008 16:06

Mějte vektorový prostor
P4: = { p(x)= a0 + a1x + a2xna2 + a3xna3 : a0, a1, a2, a3 náleží R}

Vypočítejte souřadnice vektorů
p(x) := 5xna3 + 3xna2 - 2x - 5 , q(x):= -xna3 + xna2 - 2

v bázi E : = {e1(x), e2(x), e3(x), e4(x)}, kde
e1(x) : = xna3 + x +1 ,
e2(x) : = xna2 - x,
e3(x) : = xna3 -x - 2,
e4(x) : = xna3 + xna2 -1

Marian · 18. 11. 2008 23:58

↑ Klara-Novotna:

Ukážu postup jen na jednom vektoru, třeba vektoru $p(x)\in P_4$ .

Souřadnice vektoru p(x) vzhledem k bázi $E$ jsou takové prvky $k_i,\, 1\le i\le 4$ , pro které platí identita
$5x^3+3x^2-2x-5=\sum_{i=1}^{4}k_ie_i(x)=k_1(x^3+x+1)+k_2(x^2-x)+k_3(x^3-x-2)+k_4(x^3+x^2-1).$
Odtud
$5x^3+3x^2-2x-5=(k_1+k_3+4_4)x^3+(k_2+k_4)x^2+(k_1-k_2-k_3)x+(k_1-2k_3-k_4).$
Teď stačí porovnat koeficienty u příslušných mocnin x a dostaneš soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých. Tu vyřešíš a máš hotovo. Analogicky pro vektor q(x).

Coufal · 27. 03. 2009 00:31

Zdravim, muzete mi prosim nekdo vyresit tento priklad? Dekuji moc!

Coufal · 29. 03. 2009 11:57

Znova moc prosiiim

Kondr · 29. 03. 2009 12:21

↑ Coufal:Nejprve určíme vhodnou soustavu, vzhledem ke které to počítat. Její bázi bude tvořit zadaný vektor u, libovolný vektor na něj kolmý (např. $\vec{v}=(\frac{\sqrt{3}}2,\frac{-1}{2})$ ) a třetí vektor musí být kolmý na oba, zvolme jej jako vektorový součin $\vec{u}\times \vec{v}$ .
Matice zobrazení vůči této bázi je
1 0 0
0 cos(90°) -sin(90°)
0 sin(90°) cos(90°)
nyní stačí z ní vyrobit matici vůči kanonické bázi (řešilo se to nejen na fóru už mockrát).

Coufal · 29. 03. 2009 20:30

1 0 0
0 cos(90°) -sin(90°)
0 sin(90°) cos(90°) je tedy rotace kolem osy "x" (Rx)

ale co rotace kolem osy "y" a "z"?

v sesite mam jeden priklad podobne ale s vektorem (1,1)... coz je 45° a reseni: Af= A -45° * Ay * A 45° to naprosto chapu...

ale "s vektorem u= (1/4, odmocnina 3 lomeno 4....) -> to jaky stupen? ° ?

Kondr · 29. 03. 2009 21:12

Coufal napsal(a):
v sesite mam jeden priklad podobne ale s vektorem (1,1)... coz je 45° a reseni: Af= A -45° * Ay * A 45° to naprosto chapu...

To zase já naprosto nechápu :) Myšlenka těchto příkladů je v tom, že když chci spočítat souřadnice otočeného bodu, tak
1) jeho souřadnice převedu ze standardní báze do takové, ve které má otočení "hezkou" matici -- tedy za jeden prvek té báze určitě zvolím osu, kolem které otáčím, zbylé dva prvky souřadnice doplním tak, aby byly kolmé na sebe , kolmé na osu a byly jednotkové

2) v této bázi vynásobím souřadnice vektoru tou pěknou maticí zobrazení -- protože jsme si ji zvolili bázi šikovně (první prvek báze je kolineární s osou, další dva jsou na ni kolmé), bude mít matice otočení tvar
1 0 0
0 cos(x) -sin(x)
0 sin(x) cos(x)

3) souřadnice obrazu převedeme zpět do původní báze

První operaci odpovídalo násobení maticí přechodu A, druhé operaci násobení maticí otočení B a třetímu přechodu násobení maticí opačného přechodu, která je rovna $A^{-1}$ , což se díky kolmosti a jednotkovosti bázových vektorů rovná $A^{T}$ (tj. transponované matici A). Matice celého zobrazení je proto $A^{T}BA$ .