Matematické Fórum

Anonymystik

Mějme elipsu s ohnisky $F_1, F_2$ se středem v počátku souřadnic. Označme body $I, K$ koncové body hlavní poloosy, $H, L$ koncové body vedlejší poloosy a $A$ střed elipsy. Vepišme elipsu do obdélníku $NJOM$ takového, že jeho strany jsou rovnoběžné s osami $x$ , resp. $y$ . Dokažte, že součet úhlopříček tohoto obdélníku je stejný jako obvod kosočtverce $IHKL$ .
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-07/78465_Elipsa%2B%25C3%25BAloha.png

holyduke · 23. 07. 2015 10:38

↑ Anonymystik:
Jenom rychlá myšlenka: stačilo by dokázat, že při různém natočení elipsy má opsány obdélník stejný obvod.

Pak bychom mohli elipsu natočit tak, aby měla hlavní poloosu rovnoběžnous osou x a už je to jasný.

Anonymystik

↑ holyduke: Nikoliv obvod obdélníku, ale délku úhlopříček. Obvod se při otáčení může měnit - pokud teda požadujeme, aby strany obdélníku zůstaly rovnoběžné s osami. Jinak ale máš pravdu. Ovšem dokázat to není úplně triviální...

Honzc · 26. 07. 2015 18:55 — Editoval Honzc (28. 07. 2015 08:17)

↑ Anonymystik:
Úlohu trochu přeformulujme (aby se nám lépe dokazovalo)
Tedy mějme elipsu s počátkem ve středu souřadného systému a v libovolém bodu tečnu. Druhá tečna kolmá na první tečnu tuto protne v nějakém bodu P. Máme dokázat, že vzdálenost středu elipsy a bodu P je stejná jako vzdálenost bodů BD elipsy (viz obrázek)
Pozn. Je to jenom zjednodušení tvého zadání, protože kosočtverec má 4 stejné strany a taktéž úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-07/26749_elipsa3.png

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 26. 07. 2015 20:41 — Editoval vanok (27. 07. 2015 02:36)

↑ Honzc:, ↑ Anonymystik:,
Ahoj
Dalsie prefolmulovanie problemu (euklidovskej rovine) je
Pre elipsu rovnice $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ najdite GMB (geometricke miesto bodov) z ktorych sa vidi pod pravym uhlom.
Take GMB je vytvorene bodmy prieseku dvoch najvzajom kolmych dotycnic elipsy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!