Matematické Fórum

PanTau · 14. 08. 2015 08:38

Ahoj,
snažím se vypočítat příklad :

$(x^{6}-1)/(x^{4}+x^{3}+x+1)$

Výsledek má být: $(x^{2}+x+1)$ , ale není, kde mám chybu? Problém nastává někde u druhého kroku dělení...?
Děkuji za pomoc.

Postup:

$(x^{6}-1)/(x^{4}+x^{3}+x+1)$ $=x^{2}-x+1$
$-(x^{6}+x^{5}+x^{3}+x^{2})$
$------------$
$0-x^{5}-x^{3}-x^{2}-1$
$-(-x^{5}-x^{4}-x^{2}-x)$
$------------$

Al1 · 14. 08. 2015 09:18 — Editoval Al1 (14. 08. 2015 09:21)

↑ PanTau:

Zdravím,

postup máte dobře. Pokud bychom provedli zkoušku s nabízeným výsledkem, pak
$(x^{4}+x^{3}+x+1)(x^{2}+x+1)=x^{6}+2x^{5}+\ldots$

A z toho je patrné, že nabízený výsledek je chybný.

Ještě zkontrolujte zadání, jestli jste se někde nepřepsal ve znaménku.

PanTau · 14. 08. 2015 09:29

↑ Al1:

Děkuji za odpověď, zadání jsem kontroloval, je dobře.
Lze tento příklad vložit na wolfram? Nepřišel jsem na to, jak donutit wolfram to vypočítat :-)

Al1 · 14. 08. 2015 09:33

↑ PanTau:

Ano, lze.
Odkaz

PanTau · 14. 08. 2015 09:45

↑ Al1:
A co z toho je výsledek?

PanTau · 14. 08. 2015 09:55 — Editoval PanTau (14. 08. 2015 10:05)

Přikládám příklad od vyučujícího (řešme jen podíl polynomů, zbytek ne)...
ZDE:

Další podíl polynomů co mi nevychází
ZDE (třeba ten $(x^{6}+1) / (x^{2}+1)$ ):

Definice dělení je zde, je to jiné dělení než na co jsem zvyklej? Protože i v té definici dělí nějak "divně" ?

Al1 · 14. 08. 2015 10:35

↑ PanTau:

Výsledek
$(x^{6}-1)/(x^{4}+x^{3}+x+1)=x^{2}-x+1+\frac{-2x^{3}-2}{x^{4}+x^{3}+x+1}$

Přičemž výraz $\frac{-2x^{3}-2}{x^{4}+x^{3}+x+1}$ se po rozkladu na součin dá zkrátit na tvar
$\frac{-2x^{3}-2}{x^{4}+x^{3}+x+1}=\frac{-2(x+1)(x^{2}-x+1)}{(x+1)^{2}(x^{2}-x+1)}=\frac{-2}{x+1}$

Dále pak při dělení polynomu polynomem se ptáme na zbytek po částečném dělení, proto výrazy odčítáme
$(x^{6}+1)/(x^{2}+1)=x^{4}\nl -(x^{6}+x^{4})\nl --------- \nl -x^{4}+1$

$(x^{6}+1)/(x^{2}+1)=x^{4}-x^{2}\nl -(x^{6}+x^{4})\nl --------- \nl -x^{4}+1\nl -(-x^{4}-x^{2})\nl --------- \nl x^{2}+1$

$(x^{6}+1)/(x^{2}+1)=x^{4}-x^{2}+1\nl -(x^{6}+x^{4})\nl --------- \nl -x^{4}+1\nl -(-x^{4}-x^{2})\nl --------- \nl x^{2}+1 \nl -(x^{2}+1)\nl --------- \nl 0$

PanTau · 14. 08. 2015 10:40

↑ Al1:
Děkuji za odpovědi a postupy výpočtů příkladů, ale stále nerozumím tomu, proč vyučující (obrázky jsou přednášky) má jiné výsledky..

Nejde o nějaký zvláštní druh počítání?

Al1 · 14. 08. 2015 10:53 — Editoval Al1 (14. 08. 2015 10:53)

Ano, nyní vidím, že se jedná o cyklické binární kódy a zde je potřeba počítat s polynomy "jinak". A to nemám nastudováno. Tak vás zanechám jinému kolegovi. Snad jen studijní materiál ( i když těch máte asi dost)

Odkaz

PanTau · 14. 08. 2015 10:58

↑ Al1:
Děkuji, snad někdo poradí :-)

mák · 14. 08. 2015 16:12

Zdravím,

pokud bude zadání:
$(x^{6}-1)/(x^{4}-x^{3}+x-1)$
pak vyjde požadovaný výsledek:
$x^2+x+1$

PanTau · 14. 08. 2015 23:02

↑ mák:
Ahoj a děkuji za odpověď,

ale jak se k takovému výsledku dostat?

Bádal jsem nad tím dlouho a "slovně": pokud jsou "v ocásku stejná čísla" tak je "škrtnu" a zbytek jen opíši?

Freedy · 15. 08. 2015 01:02

Ahoj,
rovněž můžeš zkusit tento postup

$\frac{x^6-1}{x^4-x^3+x-1}=ax^2+bx+c$
$x^6-1=(ax^2+bx+c)(x^4-x^3+x-1)$
$(ax^2+bx+c)(x^4-x^3+x-1)=ax^6-ax^5+ax^3-ax^2+bx^5-bx^4+bx^2-bx+cx^4-cx^3+cx-c$
$ax^6+(-a+b)x^5+(-b+c)x^4+(a-c)x^3+(-a+b)x^2+(-bc)x-c$
Tedy:
$x^6-1=ax^6+(-a+b)x^5+(-b+c)x^4+(a-c)x^3+(-a+b)x^2+(-bc)x-c$
Koeficienty u $x^5, x^4, x^3, x^2, x$ jsou rovny 0 u ostatních platí:
1 = a
0 = -a+b
0 = -b+c
0 = a-c
0 = -a+b
0 = -b+c
-1 = -c
Hned je vidět, že a = 1 a c = 1. Zbývá vyjádřit b... 0 = -1 + b >> b = 1
A tedy:
$\frac{x^6-1}{x^4-x^3+x-1}=x^2+x+1$

Brano · 15. 08. 2015 10:40

tam mas aj napisane, ze su to polynomy nad $Z_2$ takze koeficienty mozes vzdy upravovat (mod 2) - teda
$x^2-x+1=x^2+x+1$ cize vysledok mas spravne - a ked si vsimnes tak zvysok je $2=0$ cize to vyslo presne.

PanTau · 15. 08. 2015 11:07

↑ Brano:

Děkuji za odpověď, pokud tedy tvou odpověď chápu tak při počítání takových příkladů klasicky vydělím polynomy a jelikož je tam pouze $Z_2$ tedy $0,1$ tak mě nějaká znaménka nezajímají....

Protože z tich polynomů tvořím řetězce...

$x^2-x+1=111$
je stejné s
$x^2+x+1=111$

A kdyby bylo například:
$x^2+1=101$
je stejné s
$-x^2+1=101$

Chápu to tak správně?

Děkuji

mák · 15. 08. 2015 14:28

Zdravím,

${{x^6-1}\over{x^4-x^3+x-1}}$

${{\left(x^3-1\right)\,\left(x^3+1\right)}\over{\left(x-1\right)\,x^ 3+x-1}}$

${{\boxed{\left(x-1\right)\,\left(x^2+x+1\right)\,\left(x^3+1\right) }}\over{\left(x-1\right)\,\left(x^3+1\right)}}$

A teď vykrátit.

Brano · 15. 08. 2015 22:07

↑ PanTau:
neviem co presne myslis tym "tak me nejaka znamenka nezajimaji"
ale $1=-1 \mod 2$ lebo ich rozdiel (2) je delitelny 2 (napr. mod 3 to neplati) a v polynome mozes (a mal by si) upravit kazdy koeficient tak aby bol iba 0 alebo 1 cize polynom $x^2-x+1$ ma koeficienty $1,-1,1$ co je to iste (mod 2) ako $1,1,1$ co zodpoveda polynomu $x^2+x+1$

Matematické Fórum

#1 14. 08. 2015 08:38

Dělení polynomů - proč nevychází?

#2 14. 08. 2015 09:18 — Editoval Al1 (14. 08. 2015 09:21)

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#3 14. 08. 2015 09:29

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#4 14. 08. 2015 09:33

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#5 14. 08. 2015 09:45

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#6 14. 08. 2015 09:55 — Editoval PanTau (14. 08. 2015 10:05)

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#7 14. 08. 2015 10:35

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#8 14. 08. 2015 10:40

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#9 14. 08. 2015 10:53 — Editoval Al1 (14. 08. 2015 10:53)

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#10 14. 08. 2015 10:58

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#11 14. 08. 2015 16:12

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#12 14. 08. 2015 23:02

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#13 15. 08. 2015 01:02

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#14 15. 08. 2015 10:40

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#15 15. 08. 2015 11:07

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#16 15. 08. 2015 14:28

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

#17 15. 08. 2015 22:07

Re: Dělení polynomů - proč nevychází?

Zápatí