Matematické Fórum

p4too · 18. 09. 2015 20:51

Ahojte,
mam problem s touto diferencialnou rovnicou

$y'=\frac{y+2}{x+y+1}$
menovatel aj citatel vynasobim $1/x$
$y'=\frac{y/x+2/x}{1+y/x+1/x}$
substitucia
$u=y/x$
$y=u*x$
$y'=u'x+ux'$

po substitucii (niesom si isty, ostalo tam to x)
$u'x+u=\frac{u+2/x}{1+u+1/x}$

jelena · 18. 09. 2015 23:31

Zdravím,

pokud přepíšeš na tvar $(x+y+1)dy-(y+2)dx=0$ , tak je "skoro exaktní", ale překáží minus před druhou závorkou, tedy závěr "není exaktní", ale lze se pokusit na exaktní upravit pomocí integračního faktoru - dělali jste tuto metodu? (případně zde se podívat). MAW jsi zkoušel - co navrhuje? Děkuji.

Xellos · 21. 09. 2015 11:50 — Editoval Xellos (21. 09. 2015 13:29)

Urcite si zaved $z=y+1$ , tym sa zbavis jednicky v menovateli a mas $z'=(z+1)/(z+x)=1+(x-1)/(z+x)$ , co je trochu jednoduchsie. Da sa spravit dost dalsich substitucii ktore ti rovnicu zjednodusia na daco standardne (aj ked pekne riesenie to nema).

Mozem ti povedat, ze kazdym bodom $(x,y) \in \mathbb{R}^2; x+y+1 \neq 0$ , teda tam kde rovnicu riesime, prechadza jednoznacne riesenie. Su na to vety ktore hovoria ze riesenie existuje v bodoch na ktorych okoli je prava strana spojita a ze je jedine ak jej derivacia podla $y$ je spojita. A tu moze nespojitost sposobit len 0 v menovateli. Takze... staci najst jeden typ rieseni co prechadzaju kazdym z tych bodov a mas hotovo.

kaja.marik

radeji $Y=y+2$ , $X=x-1$ , $\frac{dY}{dX}=\frac{Y}{X+Y}$ a ted to je homogenni

jelena · 22. 09. 2015 23:25

↑ kaja.marik:

:-) budete odměněn večerním čtením:

"Prosím, pane učiteli, já se těším na "jarmark", říká Kája.
A pan učitel nato: "Tak je dobře. Ty se těšíš na "jarmark", a já na to, jak ti snížím známku. Čtvrtého října bude v Lážově trh, žádný jarmark, rozumíš?"

A jelikož jste návrhem řešení potěšil ještě před 4.10 :-), tak za odměnu můžete hádat, co měli v plánu na jarmarku nakoupit: putýnku, železňák, bačkory, kanafas, másnici, faldovačky, cvikr, ouhrabečnici, štoudev a u biřkláře Urbana biřkli. A žádné google. V tomto tématu to je však OT, navíc je třeba uklízet sporák a zametat pohanku - tak?

Děkuji a zdravím (a zpět k dif. rovnicím).

p4too · 23. 09. 2015 15:24

kaja ta lava strana rovnice dY/dXnemalo by to byt substituovane dako inak??

Xellos · 23. 09. 2015 16:04

↑ kaja.marik:
Hej, to je cast toho co som myslel, len na to mohol p4too prist sam.

↑ p4too:
Wolfram ti da rozumne citatelne riesenie, ale mozes si ho odvodit.
No, ponuka sa dalsia substitucia: $Y=XZ$ a riesime oddelene na intervaloch $X > 0$ , $X < 0$ . Potom

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kaja.marik

↑ jelena: Dekuji, chtel jsem odpovedet tazateli, ze proc by to melo byt substitovane "dako inak", pripadne to rozepsat, ale asi si pujdu precist Kaju Marika :)

↑ p4too: Treba jak?

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2015 20:51

differencialna rovnica

#2 18. 09. 2015 23:31

Re: differencialna rovnica

#3 21. 09. 2015 11:50 — Editoval Xellos (21. 09. 2015 13:29)

Re: differencialna rovnica

#4 21. 09. 2015 21:33 — Editoval kaja.marik (21. 09. 2015 21:33)

Re: differencialna rovnica

#5 22. 09. 2015 23:25

Re: differencialna rovnica

#6 23. 09. 2015 15:24

Re: differencialna rovnica

#7 23. 09. 2015 16:04

Re: differencialna rovnica

#8 23. 09. 2015 18:28 — Editoval kaja.marik (23. 09. 2015 18:28)

Re: differencialna rovnica

Zápatí