Matematické Fórum

151kbar151 · 29. 09. 2015 17:45

Ahojte, potřebuju pomoct. Zítra máme psát menší test na (mimo jiné) zápis intervalů na číselnou osu. Jsem v prváku na SPŠ ale tohle jsme na základce nebrali. Já vyznačím jednoduché příklady typu:
$6<x<10$
Ale jak mám proboha na číselnou osu zapsat třeba:
$|x+5|<3$
To fakt nechápu, mám to v sešitě jako jeden ze vzorů ale za prvé nechápu, proč se na číselné ose vyznačí -5 a ne +5 a pak nechápu, proč vlevo od -5 je zaznačena -8 a vpravo -2. Jediný co chápu je, že to bude otevřený interval, tzn. značka kružnice.
Vysvětlíte mi to někdo polopatě? Díky.

xstudentíkx

Ahoj ↑ 151kbar151:

Jde o to, že se jedná o absolutní hodnotu (víš co to abs. hodnota je?)

Potom máš dvě možnosti řešení, buď:

a) $|x+5|<3$ rozdělíme na dva: $x+5<3$ a $-x-5<3$ a obě nerovnosti vyřešíme, získáme tak interval.

b) $|x+5|<3\Rightarrow \sqrt{(x+5)^{2}}<3$ zde je třeba umět kvadratické nerovnice

Dostaneš stejné výsledky. Číslo -5 je "přechod" kde se mění znaménka.

151kbar151 · 29. 09. 2015 17:59

Absolutní hodnota je, že po odstranění abs. hodnoty kladná čísla zůstanou kladná a záporná se změní na kladná?
Třeba příklad $|-5-4|$ se tím pádem rovná 9.

xstudentíkx · 29. 09. 2015 18:02

↑ 151kbar151:

Ano přesně tak :)

A mohli bychom v tvém příkladu $|-5-4|$ místo -5 použít jiné číslo abychom dostali jako výsledek 9?

151kbar151 · 29. 09. 2015 18:03

$|13-4|$ ?

xstudentíkx

↑ 151kbar151:

Ano a z toho automaticky vidíš, že máme 2 řešení.

To samé je v naší nerovnici: $|x+5|<3$ , musíme nejprve najít řešení pro čísla větší než -5 a následně pro čísla menší než -5. Proto jsem tuto nerovnici rozdělila na dvě. První $x+5<3$ je pro čísla větší než -5. Druhá $-x-5<3$ pro čísla menší než -5.

misaH · 29. 09. 2015 18:07 — Editoval misaH (29. 09. 2015 18:09)

↑ 151kbar151:

Absolútnu hodnotu menšiu ako 3 majú všetky čísla medzi -3 a 3, napríklad -2,6 alebo 1,3.

Musí teda platiť

$-3 < x+5 <3$

Od oboch strán odrátaš 5 a máš výsledok.

$-3-5 <x <3-5$

Al1 · 29. 09. 2015 19:06

↑ 151kbar151:

Zdravím,

To fakt nechápu, mám to v sešitě jako jeden ze vzorů ale za prvé nechápu, proč se na číselné ose vyznačí -5 a ne +5 a pak nechápu, proč vlevo od -5 je zaznačena -8 a vpravo -2.

Nerovnici $|x+5|<3$ řešíte pomocí vzdálenoi. Pokud bys měla $|x|<3$ , hledáš čísla, která mají od 0 vzdálenost menší než 3. Vyznačíš si na číslené ose 0 a " odměříš " vzdálenost 3 nalevo a napravo od 0. Vzdálenost má být menší než tři, proto je řešením interval (-3;3).
Nulový bod výrazu x+5 je -5. Hledáš čísla, která mají od -5 vzdálenost menší než 3 jednotky. Vzdálenost 3 jednotky mají čísla -5-3 a -5+3 a z nich získáš krajní body řešení. Výsledkem je interval (-8;-2)

vanok · 29. 09. 2015 19:34

Poznamka
Je uzitocne dat napriklad, vyrazy ako $|x+5|<3$ a $(x+5)^2+y^2<3$ do suvisu. V prvom pripade ide o symetricky interval (na realnej osy) stredu v bode $A(-5)$ dlzky $2*3=6$
V druhom pripade ide o kruh ( v rovine) stredu v bode $S(5;0)$ priemeru $2*3=6$ .
Topologicky vyjadrene ide kruhy jedno a dva rozmerne....

151kbar151 · 29. 09. 2015 19:35

Al1 napsal(a):
↑ 151kbar151:
Nulový bod výrazu x+5 je -5.)

A na to přijdu jak?

misaH · 29. 09. 2015 19:37 — Editoval misaH (29. 09. 2015 19:38)

↑ 151kbar151:

x+5=0

$x=-5$

A kreslí si to.

Al1 · 29. 09. 2015 19:37

↑ 151kbar151:
Zeptáš se, pro která čísla je výraz x+5 roven nule ( hledáš nulový bod)

151kbar151 · 29. 09. 2015 19:38

Jinak jsem zkoušel řešení příkladu $|x-3|\le 2$ pomocí těch dvou nerovnic, jak radila xstudentíkx ale vyšly mi přesně opačný čísla-mně vyšlo <-1 ;-5> ale mělo vyjít +1 a +5...

Al1 · 29. 09. 2015 19:40 — Editoval Al1 (29. 09. 2015 19:50)

↑ 151kbar151:

nulový bod 3, hledáš čísla, která mají od 3 vzdálenost menší nebo rovno 2.

Krajní body 3-2, 3+2

misaH · 29. 09. 2015 19:41 — Editoval misaH (29. 09. 2015 19:44)

↑ 151kbar151:

$-2\le x-3\le2 \color {red} /+3$

$-2+3\le x\le2+3$

$1\le x\le5$

Toto je jednoznačne najkratší postup - a je aj logický.

Výsledok sa dá skontrolovať dosadením čísel z výsledného intervalu

151kbar151

No mně se zdá pro mě nejlehčí ten postup se zjištěním počátečního bodu dosazením za x a následným přičítáním a odčítáním k tomuto číslu.

misaH · 29. 09. 2015 19:56

↑ 151kbar151:

Veď to je to isté.

A samozrejme, rob si čo chceš.

Matematické Fórum

#1 29. 09. 2015 17:45

Intervaly na číselné ose

#2 29. 09. 2015 17:55 — Editoval xstudentíkx (29. 09. 2015 17:56)

Re: Intervaly na číselné ose

#3 29. 09. 2015 17:59

Re: Intervaly na číselné ose

#4 29. 09. 2015 18:02

Re: Intervaly na číselné ose

#5 29. 09. 2015 18:03

Re: Intervaly na číselné ose

#6 29. 09. 2015 18:06 — Editoval xstudentíkx (29. 09. 2015 18:07)

Re: Intervaly na číselné ose

#7 29. 09. 2015 18:07 — Editoval misaH (29. 09. 2015 18:09)

Re: Intervaly na číselné ose

#8 29. 09. 2015 19:06

Re: Intervaly na číselné ose

#9 29. 09. 2015 19:34

Re: Intervaly na číselné ose

#10 29. 09. 2015 19:35

Re: Intervaly na číselné ose

Al1 napsal(a):

#11 29. 09. 2015 19:37 — Editoval misaH (29. 09. 2015 19:38)

Re: Intervaly na číselné ose

#12 29. 09. 2015 19:37

Re: Intervaly na číselné ose

#13 29. 09. 2015 19:38

Re: Intervaly na číselné ose

#14 29. 09. 2015 19:40 — Editoval Al1 (29. 09. 2015 19:50)

Re: Intervaly na číselné ose

#15 29. 09. 2015 19:41 — Editoval misaH (29. 09. 2015 19:44)

Re: Intervaly na číselné ose

#16 29. 09. 2015 19:48 — Editoval 151kbar151 (29. 09. 2015 19:49)

Re: Intervaly na číselné ose

#17 29. 09. 2015 19:55 Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#18 29. 09. 2015 19:56

Re: Intervaly na číselné ose

Zápatí