Matematické Fórum

Tse · 01. 10. 2015 20:53

Dobrý den, procvičuji si integrály a nemohu přijít na řešení úlohy $\int_{0}^{\pi /2}sin^{3}x dx$ Podle zadání se to má řešit metodou per partes a já zaboha nemůžu přijít na to, jak by se to mělo udělat. Ať integruji, jak integruji, neustále mi tam něco přebývá nebo se dostávám do kruhu (takové ty výsledky typu 0 = 0 apod.), a nepomáhají mi v tom ani goniometrické vzorce. Všude tento typ úlohy vídám řešit spíš pomocí substituce, proto mě zajímá: jde něco takového metodou per partes vůbec vypočítat? Děkuji

Al1 · 01. 10. 2015 21:10 — Editoval Al1 (01. 10. 2015 21:14)

↑ Tse:

Zdravím,

po užití metody per partes, kdy
$u=\sin ^{2}x, v^{\prime}=\sin x$
je nutné ve vzniklém integrálu užít goniometrický vztah $\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$ a konečný výsledek získat z rovnice, ve které se všechny stejné integrály fce $\sin ^{3}x$ převedou na jednu stranu. A pak se získá jeden integrál vydělením rovnice.

misaH · 01. 10. 2015 21:11

↑ Tse:

A čo si skúšala?

Derivácia kosínusu je sinus.

Skúšala si MAW?

Tse · 01. 10. 2015 21:26

↑ Al1: Přesně takhle jsem postupovala a dostala jsem se zase na začátek - po úpravách mi vyšel výraz ze zadání. Ale nemůžu s jistotou tvrdit, že všechny kroky byly správné... Takže pro jistotu: derivace $\sin ^{2}x$ je $2\sin x\cos x$ ?

Tse · 01. 10. 2015 21:31

↑ misaH: Aha, díky za tip. Teď jsem to zkusila a koukám, že jsem tam zaměnila jedno $\cos$ za $\cos \sin$ . Třeba to bude ono...

Al1 · 01. 10. 2015 21:32 — Editoval Al1 (01. 10. 2015 21:47)

↑ Tse:

Ano a dostaneme integrál
$\int_{}^{}2\sin x\cos ^{2}x dx$

Konstantu v součinu vyjmeš z integrace a nahraďíš $\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$ . Roznásob a získáš 2integrály fce sinx a -2 integrály fce $\sin^{3}x$ . A teď se na výpočet podívej jako na rovnici. Na začátku máš hledaný integrál a na konci výpočtu je také. Tak všechny tyto stejné integrály dej nalevo a vyjádři jeden integrál.

Edit: Nemám nic proti programům, které za mě počítají, já jsem ale radši, když úlohu vypočítám sám. Jako kontrola, proč ne... :-)

Tse · 02. 10. 2015 14:02

Děkuji, konečně jsem se dostala k něčemu použitelému. Nicméně... nesedí mi znaménko - i po několikerém přepočítání mi vychází $-2/3$ , což je u určitého integrálu blbost. Stačí v takovém případě vzít absolutní hodnotu z výsledku, nebo zas někde dělám hloupou chybu, kterou nemohu najít?

Cheop · 02. 10. 2015 14:10 — Editoval Cheop (02. 10. 2015 14:11)

↑ Tse:
Ale zrovna u tohoto integrálu vychází + 2/3
0-(-2/3) = 2/3

Tse · 02. 10. 2015 14:33

↑ Cheop: Opravdu? Zkusila jsem to znovu propočítat a přišla jsem na to, že se od rady výše liším už v prvním kroku. Nevychází mi integrál $\int_{0}^{\pi /2}2\sin x \cos ^{2} x dx$ , ale $\int_{0}^{\pi /2}-2\sin x \cos ^{2} x dx$ . Protože pokud $v'=\sin x$ , tak $v=-\cos x$ . Nebo ne?

misaH · 02. 10. 2015 15:25

↑ Al1:

:-)

a ako nakopnutie možno tiež...

vanok · 02. 10. 2015 16:24 — Editoval vanok (02. 10. 2015 16:34)

Poznamka: toto cvicenie je specialny pripad Wallis-oveho integralu: $I_n=\int_{0}^{\pi /2}sin^{n}x dx$ .
Jednoducho sa da dokazat, PP ze $I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$ , co da $I_n=\frac {n-1}{n}I_{n-2}$ pre $n>1$ .
Akoze $I_1=\frac{\pi}2$ , $I_2=1$ , potom lahko dokazete zname Stirling-ove vzorce.

Al1 · 02. 10. 2015 16:39 — Editoval Al1 (02. 10. 2015 20:13)

↑ Tse:

Budu počítat $\int_{}^{}sin^{3}x dx$

$u=\sin ^{2}x, v^{\prime}=\sin x\nl u^{\prime}=2\sin x\cos x, v=-\cos x$

$\underline{\int_{}^{}\sin^{3}x dx}=-\sin ^{2}x\cos x+2\int_{}^{}\sin x\cos ^{2}x dx=-\sin ^{2}x\cos x+2\int_{}^{}\sin x(1-\sin^{2}x) dx=\nl -\sin ^{2}x\cos x+2\int_{}^{}\sin x dx -\underline {2\int_{}^{}\sin ^{3}x dx}$

$3\int_{}^{}sin^{3}x dx=-\sin ^{2}x\cos x-2\cos x\nl \int_{}^{}sin^{3}x dx=\ldots$

spočítáš jeden integrál, nezapomeň na konstantu

Určitý integrál již spočítáš jistě sama.

Al1 · 02. 10. 2015 16:41

↑ misaH:

Zdravím,

áno, aj :-)

Tse · 02. 10. 2015 16:45

Aha, už jsem to zatoulané znaménko objevila, děkuji!

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2015 20:53

Určitý integrál per partes

#2 01. 10. 2015 21:10 — Editoval Al1 (01. 10. 2015 21:14)

Re: Určitý integrál per partes

#3 01. 10. 2015 21:11

Re: Určitý integrál per partes

#4 01. 10. 2015 21:26

Re: Určitý integrál per partes

#5 01. 10. 2015 21:31

Re: Určitý integrál per partes

#6 01. 10. 2015 21:32 — Editoval Al1 (01. 10. 2015 21:47)

Re: Určitý integrál per partes

#7 02. 10. 2015 14:02

Re: Určitý integrál per partes

#8 02. 10. 2015 14:10 — Editoval Cheop (02. 10. 2015 14:11)

Re: Určitý integrál per partes

#9 02. 10. 2015 14:33

Re: Určitý integrál per partes

#10 02. 10. 2015 15:25

Re: Určitý integrál per partes

#11 02. 10. 2015 16:24 — Editoval vanok (02. 10. 2015 16:34)

Re: Určitý integrál per partes

#12 02. 10. 2015 16:39 — Editoval Al1 (02. 10. 2015 20:13)

Re: Určitý integrál per partes

#13 02. 10. 2015 16:41

Re: Určitý integrál per partes

#14 02. 10. 2015 16:45

Re: Určitý integrál per partes

Zápatí