Matematické Fórum

mudej007

Dobrý den,
potřeboval bych pomoci s důkazem, že $\log5_{}$ je číslem iracionálním.
Silně doporučuji metodu důkazu sporem tj. položit logaritmus rovno $\frac{p}{q}$ , ale nevím si rady s následujícími úpravami této rovnice.
Pomůžete mi někdo, prosím?
Děkuji

xstudentíkx · 10. 10. 2015 16:41

Ahoj ↑ mudej007:

Prvně bych dodala, že $q\in \mathbb{N}$ a $p\in \mathbb{Z}$ .

Náš logaritmus upravíme:

$10^{\frac{p}{q}}=5$

$10^{p}=5^{q}$

$2^{p}5^{p}=5^{q}$

$2^{p}=5^{q-p}$

Napadá tě, kde se nachází spor?

Ještě bych dodala, že p musí být celé kladné. Což by šlo nejspíš ukázat přes logaritmus: $\log_{}1=0$ $\log_{}10=1$ z toho $\log_{}1<\log_{}5<\log_{}10$ z toho je zřejmé, že $\frac{p}{q}$ je kladné.

mudej007

ahoj ↑ xstudentíkx:
Z rovnice $2^{p}=5^{q-p}$ je evidentní, že platí jen, když $p=0\wedge q=0$
Vzhledem k tomu, že máme definováno $q \in N$ , a zároveň nula není přirozené číslo, tak byl spor nalezen, ne?
A ještě bych dodal, že p a q musí být čísla nesoudělná, čili jejich největším společným dělitelem by měla být jednička.

xstudentíkx

↑ mudej007:

:) Pěkné, i toto by se dalo říci a spor byl tak nalezen.

Já osobně jako spor dala, že levá strana je sudá a pravá strana je lichá, tudíž se nemohou rovnat. Proto jsem uváděla, že $\frac{p}{q}$ je kladné a zároveň z uvedené nerovnosti logaritmů plyne, že $q>p$ , proto můžeme jako spor položit sudost a lichost stran.

Můžeš klidně uvést oba nalezené spory. Chválím i za uvedení té nesoudělnosti :)

mudej007 · 10. 10. 2015 18:02

↑ xstudentíkx:
Super, díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2015 15:31 — Editoval mudej007 (10. 10. 2015 15:32)

Důkaz iracionality logaritmu

#2 10. 10. 2015 16:41

Re: Důkaz iracionality logaritmu

#3 10. 10. 2015 17:14 — Editoval mudej007 (10. 10. 2015 17:20)

Re: Důkaz iracionality logaritmu

#4 10. 10. 2015 17:37 — Editoval xstudentíkx (10. 10. 2015 17:39)

Re: Důkaz iracionality logaritmu

#5 10. 10. 2015 18:02

Re: Důkaz iracionality logaritmu

Zápatí