Matematické Fórum

Hansikii · 10. 10. 2015 17:11

Zdravím, rád bych se tady s vámi poradil o omezenosti posloupností, konkrétně této: $An=\frac{ 5n+2}{n+1}$ . Nikde jsem nenašel nějaký způsob jak přijít, respektive dokázat, že je posloupnost omezená shora/zdola. Já to dělám tak, že si vypíši prvních několik členů a podle toho poznám, zda-li je pst. omezená nebo není. Konkrétně u této: $\{\frac{7}{2},\frac{12}{3}, \frac{17}{4}, \frac{22}{5}, \frac{27}{6}...\}$ . Z toho vidím, že je omezená zdola těmi $\frac{7}{2}$ , a shora podle mě není, ale ve výsledcích je napsáno, že je i shora, ale čím ? nekonečno jí přeci nemůže omezit. Lze říci, že pokud má posloupnost sup a inf, tak je omezená ? Pokud jen inf, tak zdola, pokud jen sup. tak shora ?

xstudentíkx · 10. 10. 2015 17:28

Opět zdravím ↑ Hansikii:

Platí, pokud je posloupnost konvergentní je omezené. Obráceně to platit nemusí. Nicméně pokud zjistíš, že je skutečně konvergentní, zjistíš tím i omezenost. Spočítáme tedy limitu této posloupnosti. Je vidět, že je posloupnost rostoucí, tudíž omezenost zdola je asi nejlepší zjistit dosazením prvního členu (n=1), pokud by byla klesající je tato hodnota supremum (byla by horní hranice). Pokud ti vyjde, že je limita rovna v tomto případě $+ \infty$ , není shora omezená.

Hansikii · 10. 10. 2015 17:53

Bohužel, limity ještě neovládám, ale pokusím se na to tady přijít sám, popř. s vaší pomocí.u této limity $\lim_{\to}\frac{5n+2}{n+1}$ , bych si měl uvědomit, že čitatel tedy $5n+2$ jde k $\infty$ a jmenovatel taky, takže dostávám tvar $|"\frac{\infty }{\infty }"|$ , nyní vytknu ten "nejsilnější člen", takže 5n a dostanu tvar: $\lim_{\to}\frac{5n+2}{n+1} =|"\frac{\infty }{\infty }"| =lim \frac{5n}{5n} *\frac{1+\frac{2}{5n}}{\frac{1}{5}+\frac{1}{5n}}$ . Další postup už ale nevím

xstudentíkx · 10. 10. 2015 18:08

↑ Hansikii:

Jak píšeš máme tuto limitu $\lim_{n\to\infty }\frac{5n+2}{n+1}$ , ano obecně platí, že máme tvar $\frac{\infty }{\infty }$ a proto by se dalo použít i L'Hospitalovo pravidlo, kde bychom použili derivace, které jak hádám rovněž neznáš a v tomto případě by nám to pouze přidělalo práci.

Je tedy nejlepší vytknout z limity n (vytknout 5n je rovněž správně, ale opět by nám to přidělalo trochu práci).

Dostaneme: $\lim_{n\to\infty }\frac{5n+2}{n+1}=\lim_{n\to\infty }\frac{n}{n}*\frac{5+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}$

Nyní je zřejmé, že n/n je 1. Máme tedy $\lim_{n\to\infty }\frac{5+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{5}{1}$ . Toto platí díky pravidlům pro počítání s limitami, dalo by se to přepsat na $\lim_{n\to\infty }\frac{5+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty }5+\lim_{n\to\infty }\frac{2}{n}}{\lim_{n\to\infty }1+\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}}$ a platí, že $\lim_{n\to\infty }\frac{x}{n}=0, x\in \mathbb{R}$

Hansikii · 10. 10. 2015 18:15

↑ xstudentíkx:

Výborně, výborně.. díky vám jsem pochopil princip limitů a postup jak zjistit limity alespoň u těch jednoduchých posloupností, jsem vám za to velmi vděčný, nevěděl jsem jak jinak se vám odvděčit, tak jsem vám, alespoň přidal reputaci :)) Ještě bych se chtěl zeptat, konkrétně u této posloupnosti jsme se dozvěděli, že má limitu 5, dá se z toho odvodit ta omzenost ? popř. jakým vztahem :)

xstudentíkx

↑ Hansikii:

Limity jsou velice zajímavá část matematiky a práce s těmito základními není ani nijak složitá :). Většina lidí si tu automaticky tyká, takže mi spíš tykej :)

Tím, že jsme zjistili limitu posloupnosti, jsme zároveň zjistili určitý bod ke kterému se členy této posloupnosti s rostoucí hodnotou blíží, tím jsme zároveň zjistili její supremum (5), k tomuto číslu se členy blíží a posloupnost je jím tedy omezená. Takže posloupnost je shora omezená číslem 5. Obecně platí, jestliže jsou všechny členy posloupnosti $\le$ než nějaké číslo M, je posloupnost shora omezená.

Co se týká omezenosti zdola, je zřejmé že to musí být $\frac{7}{2}$ , jelikož nelze najít menší číslo, kterému by se posloupnost rovnala. Dej si však pozor na rostoucí a klesající posloupnosti :)

Hansikii · 10. 10. 2015 18:34

↑ xstudentíkx:
Dobře, jestli jsem to tedy pochopil, tak supremum je zároveň limita posloupnosti ? Vypočítáním limity vždycky zjistím jen supremum. Tu obecnou definici uvedenou v poslední větě nevím, jestli jsem dobře pochopil, vlastně se tam tvrdí to co jsem psal na začátku se supremem,že supremum je větší nebo rovno všem číslům posloupnosti a díky tomu je posloupnost shora omezená.

xstudentíkx · 10. 10. 2015 19:49

↑ Hansikii:

pokud máme konvergentní rostoucí posloupnost, tak její supremum je skutečně její limita. Nicméně posloupnost může být omezená a přitom nemít limitu. Například 1,-1,1,-1,1,... má supremum 1. Poslední větu jsi pochopil správně :)

Xellos · 10. 10. 2015 19:58

↑ Hansikii:

Jednoduchy sposob ako spoznat ci je obmedzena tato postupnost:

$\frac{5n+2}{n+1}=5-\frac{3}{n+1}$

Je jasne, ze zhora je obmedzena, lebo to je $\le 5$ (samozrejme $n$ su prirodzene). Mozes si vsimnut, ze ked $n$ rastie, tak $\frac{3}{n+1}$ klesa a $5-\frac{3}{n+1}$ rastie, takze post. je rastuca a zdola obmedzena prvym clenom. Hotovo, bez limit.

Hansikii · 10. 10. 2015 20:14

↑ Xellos:
Nevím jak jste dosáhl této úpravy: $=5-\frac{3}{n+1}$

Marian · 10. 10. 2015 21:52 — Editoval Marian (10. 10. 2015 21:53)

↑ Xellos:

Tleskám tvé myšlence, provést vše jednoduše bez limit (to se snad přímo nabízí). Snad bych jen podotknul, že omezenost zdola je možno dokázat (ačkoliv se slabší mezí) také triviálně takto:

$0<\frac{5n+2}{n+1}.$

Dalo by se to ale vyladit daleko více, ale jedná se mi o co nejvyšší míru triviality řešení původní úlohy.

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2015 17:11

Omezenost posloupnosti

#2 10. 10. 2015 17:28

Re: Omezenost posloupnosti

#3 10. 10. 2015 17:53

Re: Omezenost posloupnosti

#4 10. 10. 2015 18:08

Re: Omezenost posloupnosti

#5 10. 10. 2015 18:15

Re: Omezenost posloupnosti

#6 10. 10. 2015 18:26 — Editoval xstudentíkx (10. 10. 2015 18:31)

Re: Omezenost posloupnosti

#7 10. 10. 2015 18:34

Re: Omezenost posloupnosti

#8 10. 10. 2015 19:49

Re: Omezenost posloupnosti

#9 10. 10. 2015 19:58

Re: Omezenost posloupnosti

#10 10. 10. 2015 20:14

Re: Omezenost posloupnosti

#11 10. 10. 2015 21:52 — Editoval Marian (10. 10. 2015 21:53)

Re: Omezenost posloupnosti

Zápatí