Matematické Fórum

xstudentíkx · 14. 10. 2015 21:27

Pěkný večer,

nejsem si jistá jedné věci týkající se těles.

Mějme množinu $\{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ a mám rozhodnout zda se jedná o těleso.

jako první jsem řešila uzavřenost na násobení a z toho mám: $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})=(ac+bd\sqrt[3]{4})+(ad+bc)\sqrt[3]{2}$ lze tedy říci, že pokud $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$ , potom $(ac+bd\sqrt[3]{4})$ není racionální a $(ad+bc)$ je racionální? Z čehož plyne, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})$ není racionální a tedy se nejedná o těleso?

Pokud bych však měla $\{a+b\sqrt[]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ potom by uzavřenost na násobení platila.

Mám trochu problém s pochopením role toho iracionálního čísla, už jsem to tu na fóru hledala, ale nic z toho mi to neupřesnilo.

Brano · 15. 10. 2015 00:20 — Editoval Brano (26. 10. 2015 21:57)

spravne sa ti zda, ze to nie je teleso, len to treba poriadnejsie dokazat

najprv, ze preco je tvoj argument "nedostatocny" napr. taka $\sqrt[3]{2}+1\cdot\sqrt[3]{2}$ - v druhom clene je ta $1$ racionalna a prvy clen nie je racionalny - a predsa to ma spravnu formu, lebo sa to da zapisat ako $0+2\cdot\sqrt[3]{2}$

teraz ako dokazat, ze nasobenie nie je uzavrete - tu je lepsie to nerobit vseobecne ale vybrat si napr.

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ a chceme ukazat, ze sa neda napisat ako $a+b\sqrt[3]{2}$
predpokladaj, ze sa da; potom
$\sqrt[3]{4}=a+b\sqrt[3]{2}$ a teda
$4=a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{4}=a\sqrt[3]{2}+b(a+b\sqrt[3]{2})=ab+(a+b^2)\sqrt[3]{2}$
kedze $\sqrt[3]{2}$ je iracionalne, tak potom nutne $a=-b^2$ a $ab=4$ , cize $-b^3=4$ a teda $b=-\sqrt[3]{4}$ co nie je racionalne a to je spor.

EDIT: mam tu chybu - malo to byt $2=a\sqrt[3]{2}+b\sqrt[3]{4}=...$ co nakoniec da $b=-\sqrt[3]{2}$ - cize pointa argumentu ostane ta ista

vanok · 15. 10. 2015 10:55 — Editoval vanok (15. 10. 2015 10:56)

poznamka
Najmensie teleso, ktore obsahuje rationalne cisla a $\sqrt[3]2$ je vytvorene prvkami $a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4$ kde a,b,c su rationalne.
Tu https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Corps_de_rupture najdes po fr zaujimave informacie, ktore ste iste videli v skole.

xstudentíkx

↑ Brano:

Děkuji, tomuto už rozumím a tento důkaz už je skutečně důkazem, na rozdíl od mého.

Ještě takové doplnění, pokud bych chtěla dokazovat inverzní prvek, mám tedy místo dokázání pomocí přímého výpočtu ( $\frac{1}{a+b\sqrt[3]2{}}=\frac{a}{a^{2}-b^{2}\sqrt[3]{4}}-\frac{b}{a^{2}-b^{2}\sqrt[3]{4}}\frac{\sqrt[3]2{}}{1}$ ) použít tuto možnost: $\frac{1}{a+b\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ nebo-li slovně budu se snažit dokázat, že inverzní prvek se nerovná inverznímu prvku iracionálního čísla, jestliže a nebo b není iracionální.

Ještě jak uvádíš, že lepší vybrat si nějaké číslo konkrétně a zvolil jsi $\sqrt[3]{4}$ , jaké další varianty by v tomto případě šly například zvolit?

↑ vanok:

Děkuji za doplnění, škoda, že neumím francouzsky...

Brano · 15. 10. 2015 17:05 — Editoval Brano (15. 10. 2015 17:06)

uzavrete na inverzne prvky to znova nie je a znova je najlepsie v takom pripade skumat jeden - t.j. konkretne a,b a nie vsetky

napr. $\left(\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}\right)^{-1}=\sqrt[3]{4}$ a to uz vieme, ze tam nie je.

a k tvojej druhej otazke - aky prvok vyberat. No to musis odhadnut - najlepsie je vybrat taky aby si mala co najjednoduchsi postup. mohla by si skumat aj $\sqrt[3]{2}$ a bolo by to trosicku narocnejsie alebo $1+\sqrt[3]{2}$ a bolo by to este trochu narocnejsie, ale mohla by si skusit aj napr $2$ - a tam neuspejes, lebo "akoze nahodou" inverzny prvok k dvojke je v poli.

vanok · 15. 10. 2015 17:26 — Editoval vanok (15. 10. 2015 17:27)

Ahoj ↑ Brano:,
Alebo este jednoduchsie, vyuzi moju poznamku ↑ vanok:
Cize napr. mozes vypocitat $(a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4)(a' + b'\sqrt [3]2 + c' \sqrt[3]4)$ a predpokladat ze druhy prvok je inverzny prveho a tak ten sucin je 1...atd

xstudentíkx · 15. 10. 2015 18:44

↑ Brano:

Dobře, tak teď už je mi to jasnější. Budu tedy volit konkrétní hodnoty. Trochu jsem se inspirovala tímto řešením:

(stačí rozkliknout)

Sherlock

↑ Brano:

Zdravím, mám dotaz ohledně uzavřenosti násobení: Kde je psáno, že naše množina musí být podmnožinou racionálních čísel?
Nemělo by se spíš dokázat, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})\not \in \{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ ?

Brano · 16. 10. 2015 11:20 — Editoval Brano (16. 10. 2015 12:57)

Sherlock napsal(a):
↑ Brano:

Zdravím, mám dotaz ohledně uzavřenosti násobení: Kde je psáno, že naše množina musí být podmnožinou racionálních čísel?

a kde to podla teba pozadujem?

Sherlock napsal(a):
↑ Brano:
Nemělo by se spíš dokázat, že $(a+b\sqrt[3]{2})(c+d\sqrt[3]{2})\not \in \{a+b\sqrt[3]{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ ?

to som presne dokazoval - tak pripadne sa spytaj presnejsie comu nerozumies

Brano · 16. 10. 2015 11:23

↑ xstudentíkx:
ved fajn, len tam to vyjde, ze to axiomy pola splna, takze ich dokazujes a teda to treba pre vsetky a,b
ked to vsak nesplna, tak staci najst jeden kontapriklad - nemusis hladat vsetky

xstudentíkx · 16. 10. 2015 18:42

↑ Brano:

Jo, tak to skutečně je, už vím jak na to a příklady mi vychází, ještě jednou díky :)

vanok · 17. 10. 2015 10:34 — Editoval vanok (17. 10. 2015 23:07)

Pozdravujem,
Pre informaciu $(a + b\sqrt [3]2 + c \sqrt[3]4)(a' + b'\sqrt [3]2 + c' \sqrt[3]4)=1$ da
$a'=\frac {a^2-2bc} D,b'=\frac{2c^2-ab}D, c'=\frac {b^2-ac}D$ , kde $D=a ^3+2b^3+4c^3-6abc$ (Kde $D$ nie je nula ak aspon jedno z $a,b,c$ nie je nula).

vanok · 17. 10. 2015 23:16

Technicka poznamka.
Vdaka poznamke ↑ vanok:, ako aj ↑ vanok:, mozte dat odpovede, ktore mozu zovseobecnit polozene otazky v cviceni.

Brano · 26. 10. 2015 21:59

↑ Brano:
mal som v tomto prispevku numericku chybu, ale na priebehu dokazu to moc nezmeni

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2015 21:27

je množina těleso?

#2 15. 10. 2015 00:20 — Editoval Brano (26. 10. 2015 21:57)

Re: je množina těleso?

#3 15. 10. 2015 10:55 — Editoval vanok (15. 10. 2015 10:56)

Re: je množina těleso?

#4 15. 10. 2015 15:21 — Editoval xstudentíkx (15. 10. 2015 15:25)

Re: je množina těleso?

#5 15. 10. 2015 17:05 — Editoval Brano (15. 10. 2015 17:06)

Re: je množina těleso?

#6 15. 10. 2015 17:26 — Editoval vanok (15. 10. 2015 17:27)

Re: je množina těleso?

#7 15. 10. 2015 18:44

Re: je množina těleso?

#8 15. 10. 2015 20:35 — Editoval Sherlock (15. 10. 2015 22:26)

Re: je množina těleso?

#9 16. 10. 2015 11:20 — Editoval Brano (16. 10. 2015 12:57)

Re: je množina těleso?

Sherlock napsal(a):

Sherlock napsal(a):

#10 16. 10. 2015 11:23

Re: je množina těleso?

#11 16. 10. 2015 18:42

Re: je množina těleso?

#12 17. 10. 2015 10:34 — Editoval vanok (17. 10. 2015 23:07)

Re: je množina těleso?

#13 17. 10. 2015 23:16

Re: je množina těleso?

#14 26. 10. 2015 21:59

Re: je množina těleso?

Zápatí