Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 10. 2015 22:45 — Editoval Makrofág (18. 10. 2015 09:04)

Makrofág
Příspěvky: 76
Škola: Pedf UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Křivka se třemi krajními body

Zdravím vás!

Prosímvás, existuje křivka s více, než dvěma krajními body? Jednu takovou sem přináším v obrázku a nedokážu matematicky zdůvodnit, proč to, co sem vkládám, není křivka. Na mém objektu se mi nelíbí to, že nejsem schopen určit jeho délku, protože obsahuje jednu "větev" navíc a výpočet délky tohoto objektu, který neumím pojmenovat, je pro mě nejednoznačný. Vím, že křivka je spojité zobrazení z intervalu čísel do množiny bodů třeba v Eukleidovském prostoru, ale co myslíte, jak pomocí definice křivky vyvrátím to, že objekty s více, než dvěma krajními body, křivky nejsou?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-10/14661_divna%2Bkrivka.png


Není všechno, co se třpytí, není všechno k pochopení.
Není lehké živobytí, a přesto zloba v nás není.

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) jelena)

#2 18. 10. 2015 09:47

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Zdravím,

pokud budu vycházet z definice, potom každá větev bude mít vlastní popis funkcí $\phi$ a $\psi$. Asi nebude problém s napojením 2 křivek, jelikož potom počáteční bod jedné=konec druhé a pomocí jednoznačného zobrazení to popíšeš, ale v tom, že nepopíšeš jednoznačně "větvení" (zde už jednoznačné není).

S délkou bych to nespojovala - pokud popíšeš jednotlivé úseky, tak určíš i délku, ale spíš to, že nepopíšeš jednoznačně samotnou křivku. Jinak pohled na uzavřenou křivku - má nekonečně mnoho počátků a konců - tak?

Případně ještě upřesni, jak vznikla otázka, lze přesunout např. do Didaktiky, pokud jde o zavádění a porovnání definic, děkuji za upřesnění.

Offline

 

#3 18. 10. 2015 20:55 — Editoval Makrofág (18. 10. 2015 22:47)

Makrofág
Příspěvky: 76
Škola: Pedf UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ jelena: Myslel jsem si, že sjednocení křivek $k_{1}$ a $k_{2}$ je křivka $k_{3}$, pokud bodový průnik $k_{1}$ a $k_{2}$ je neprázdný. Nakonec ale od tohoto uhýbám, protože jsem se z definice křivky logickou cestou k tomuto tvrzení nedostal a myslím si, že to ani nejde. Proto tedy říkám to, co na začátku, že křivka je křivkou tehdy, pokud má nejvýše dva body krajní + definice z Wikipedie. Laicky řečeno: rovinná křivka je takový rovinný útvar, jenž lze zakreslit jedním tahem.

Moje definice vnitřního a krajního bodu křivky:
Nechť je dána křivka $k$ a na ní ležící bod $X$. $X$ je zároveň střed kružnice $m$ s poloměrem $d$ různé od nuly. Pak $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}: d<\varepsilon $. Pokud:
a) $k\cap m$ = {jeden bod}: bod $X$ je krajní bod křivky $k$
b) $k\cap m$ = {dva body}: bod $X$ je vnitřní bod křivky $k$

Díky, že jsi to dočetla Jeleno. Teď už jen napíšu, proč se tím zabývám. Buduji geometrii od píky a nechci nic opomenout, pak taky chci úplně znát věci, se kterými pracuji. Proto si vymýšlím tyhle ulítlosti. Díky za spolupráci Jeleno.


Není všechno, co se třpytí, není všechno k pochopení.
Není lehké živobytí, a přesto zloba v nás není.

Offline

 

#4 18. 10. 2015 21:41

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Makrofág:

také děkuji - dočetla a přesunu do Didaktiky, kde se dostane odborně lepšího vysvětlení.

Laicky řečeno: rovinná křivka je takový rovinný útvar, jenž lze zakreslit jedním tahem.

tak bych to viděla také. Potom v dalším textu ale nevidím, co je $m$? Doplň, prosím.

Buduji geometrii od píky a nechci nic opomenout, pak taky chci úplně znát věci, se kterými pracuji. Proto si vymýšlím tyhle ulítlosti.

předem děkuji kolegům za ochotu.

Jelena

Offline

 

#5 18. 10. 2015 21:54

misaH
Příspěvky: 13136
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ jelena:

Z textu $m $ je kružnica.

Online

 

#6 19. 10. 2015 00:06

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Makrofág:

děkuji za edit, je to vidět. Tedy uvažuješ kružnici nekonečně malého poloměru. Jak ale zaručíš že taková kružnice se středem v krajním bodě nezachytí některý další bod křivky, např. v případě spirály? 

Kdysi hodně dávno jsme zde "četli" disertační práci, teď vidím, že vyšla knižně a je online dostupná - četl jsi? A také snad by i kolegům pomohlo v doporučování definic, když upřesníš, na které bázi své poznámky stavíš (aby to nebylo úplně jen Tvá tvorba). Děkuji.

Offline

 

#7 19. 10. 2015 00:24

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Pozdravujem ↑ jelena:,
Skutocne pojem krivky je zaujimavy ako po historickej tak aj po matematickej stranke.
Pokroky a zmeny nazorov su vysledkom nedostatkov predchadzajucych definicii... A toho co je ocakavane od roznych autorov. ( priklad praca v urcitych topologickych priestoroch)
Poznamka: Krivka nakreslena jednym tahom... Cize = spojita krivka ... Ale taka krivka polovuje ? taku krivku ako tu v prvom prispevku vlakna...

Jeden typ : o krivkach sa da vela dozvediet aj vdaka studiu rovinnych algebrickych kriviek.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 19. 10. 2015 10:51

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ vanok:

Zdravím a děkuji za příspěvek (a doufám i v Tvé další zapojení do tématu). Ano, téma křivek si nevystačí s jednou definici a nemůže být bráno jen jednostranně (čistě teoreticky) - má široké praktické využití a i z toho jsou odvíjeny možné způsoby jak co definovat. Tedy bych nečekala, že se řekne, že definice správná/nesprávná, ale snad vyvrátit opravdu chybné pohledy, ovšem aby nebylo od začátku vymyšleno kolo.

vanok napsal(a):

Poznamka: Krivka nakreslena jednym tahom... Cize = spojita krivka ... Ale taka krivka polovuje ? taku krivku ako tu v prvom prispevku vlakna...

kolega pravě namítá, že taková křivka definici spojité křivky nesplňuje, pokud jsem správně pochopila. Přeji zdárnou a prospěšnou debatu (zejména, když vidím VŠ v profilu autora).

Offline

 

#9 19. 10. 2015 11:27

Makrofág
Příspěvky: 76
Škola: Pedf UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ jelena: Nakonec jsem dospěl k názoru, že křivka se dá nakreslit jedině jedním tahem. Vyplývá to z její definice. (Dále budu používat systém značení z definice na Wikipedii.) Pokud je každý bod zobrazen souřadnicemi, jež jsou zároveň funkčními hodnotami, pak je pro každé číslo z intervalu $\langle\alpha ,\beta \rangle$ definován jeden bod. Pak se tedy nemůže stát, že by se křivka větvila, takže více, než dva krajní body křivka nemá.
Se spirálou máš pravdu. V okolí krajního bodu se spirála vlní skoro nekonečně hustě, tak krajní a vnitřní bod křivky můžeme definovat jinak pomocí definice křivky.

Krajní body křivky jsou body $X,Y: X = [\phi(\alpha), \psi(\alpha)], Y = [\phi(\beta), \psi(\beta)]$ , pokud $X$ je různé od $Y$ . (nevím, jak zapsat znak nerovnosti)
Dále vnitřní body křivky jsou všechny takové body, pro něž tohle kritérium neplatí.

A na závěr jsi se Jeleno ptala, odkud čerpám, na čem stavím. Čerpám z Wikipedie a z dalších materiálů nalezených na internetu, čerpám z více zdrojů, abych porovnal to, co třeba porovnat chci. Buduji to proto, abych věděl, co ty pojmy znamenají a proč se tohle, nebo tamto nějak chová. Tohle moje budování sepisuji do sešitů s tím, že se z toho pak někdo bude učit. Takže to dělám pro sebe, a zároveň pro jiné.

Mám v tom teď už úplně jasno a vám všem, kdož jste mi pomohli, děkuji. Označuji toto téma za vyřešené. Když se o tom se mnou někdo z vás bude chtít bavit, napište dále do vlákna :-)


Není všechno, co se třpytí, není všechno k pochopení.
Není lehké živobytí, a přesto zloba v nás není.

Offline

 

#10 19. 10. 2015 21:31

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Makrofág:

děkuji. Ošetřuje Tvá definice krajních bodů také uzavřené křivky? (nerovná se je \neq $\neq$)

Buduji to proto, abych věděl, co ty pojmy znamenají a proč se tohle, nebo tamto nějak chová.

to je rozumné, také obdivuhodné + ještě předpoklad, že bázi si tvoříš na uznávaných textech.

Offline

 

#11 19. 10. 2015 22:11

Makrofág
Příspěvky: 76
Škola: Pedf UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ jelena: Neošetřuje, protože já beru krajní bod jako konec toho ocasu křivky. Prostě tak, jak jsem to definoval, tak beru krajní a vnitřní body. Oficiálně se tedy krajní bod uzavřené křivky bere jako jakýkoliv bod ležící na křivce viď? Takže uzavřená křivka má jeden libovolně zvolený krajní bod a jakýkoli jiný je vnitřní....
Rozhodl jsem se, že budu ty body chápat tak, jak jsem to tady napsal, protože si krajní bod představuji "na kraji" . Jaká definice je podle tebe lepší?


Není všechno, co se třpytí, není všechno k pochopení.
Není lehké živobytí, a přesto zloba v nás není.

Offline

 

#12 20. 10. 2015 01:57

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Pozdravujem,
Pridam tu dnes nieco zaujimave o krivkach
http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml
Iste sa vam to bude pacit.

Nieco viac teoreticke tu popridavam, len co budem mat viac casu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 20. 10. 2015 12:59

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Makrofág:

děkuji, to byl spíš dotaz do diskuse, než, že bych měla něco lepší (na to ani nemám potenciál). Uzavřenou křivku bych chápala, že má pouze vnitřní body. Já s definici končím cca k 19. století (viz online kniha).

↑ vanok:  děkuji, téma jsem odznačila za nevyřešené (pro lepší časy s více časem). Také děkuji za odkazy, máme také od kolegy Honzc(e), ale opět je nepořádek v odkazování (pokusím se oslovit váženého Admina).

Offline

 

#14 20. 10. 2015 22:21

Eratosthenes
Příspěvky: 2275
Reputace:   129 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

ahoj ↑ jelena:,

ani v 19. století křivku určitě nedefinovali jako množinu vnitřních bodů. Naopak - aby křivka byla křivkou, musí mít všechny body hraniční :-)

Definic křivky jsou mraky, každá je jen více či méně obecná. Podle většiny z nich to, co nakreslil ↑ Makrofág:, křivka je. Jenom není jednoduchá, protože sama sebe protíná, a není regulární, protože v průsečíku sama sebe nemá derivaci.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#15 20. 10. 2015 22:30

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Eratosthenes:

:-) to záleží, kterým směrem z křivky hledím - když jdu vpřed po křivce, tak hledím ve směru chůze a jsem vnitřním bodem své cesty. Když přecházím přes dopravní komunikaci, tak hledím doleva a doprava, tak jsem hraničním bodem městské dopravy.

Definic křivky jsou mraky, každá je jen více či méně obecná.

ano, odkazovaná kniha podává dobrý přehled.

křivka je. Jenom není jednoduchá, protože sama sebe protíná, a není regulární, protože v průsečíku sama sebe nemá derivaci.

:-) je dokonala ve své nezařaditelnosti.

Děkuji, doufám, že autor tématu již bude v dobrých rukou ↑ vanok: a ↑ Eratosthenes:.

Offline

 

#16 20. 10. 2015 23:06

Xellos
Příspěvky: 524
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   36 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Uf, definicia krajneho bodu krivky v analyze velmi neexistuje, krajne body su proste tie co zodpovedaju zaciatku a koncu intervalu ktorym je parametrizovana. S vyrobou vlastnych definicii je problem ten ze su vlastne - a nemusia byt spravne, ved krivky mozu byt neskutocne hnusne a napr. sa blizit k lubovolnemu bodu vselijako a pritom byt stale proste.

Mozno by sa na to dalo ist cez tie napojenia: mame 3 krivky ktore splnaju standardnu definiciu a stretavaju sa v spolocnom jednom krajnom bode. Chceme ukazat, ze nie je mozne vybrat si zvysne krajne body dvoch z tych kriviek a parametrizovat to cudo ako jednu krivku?

Offline

 

#17 20. 10. 2015 23:41 — Editoval Eratosthenes (20. 10. 2015 23:44)

Eratosthenes
Příspěvky: 2275
Reputace:   129 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

↑ Makrofág:

>> Nakonec jsem dospěl k názoru, že křivka se dá nakreslit jedině jedním tahem

>> Pokud je každý bod zobrazen souřadnicemi, jež jsou zároveň funkčními hodnotami, pak je pro každé číslo z intervalu $\langle\alpha ,\beta \rangle$ definován jeden bod. Pak se tedy nemůže stát, že by se křivka větvila, takže více, než dva krajní body křivka nemá.

Hrubě se mýlíš. Tvoje "trojnožka" má parametrické rovnice

$x = \phi(t), y = \psi(t)$

kde

$\phi(t) = t+1 \Leftrightarrow t \in <-3;-1) $
                $   0      \Leftrightarrow t \in <-1;1) $
               $ t-1 \Leftrightarrow t \in <1;3> $

$\psi(t) = t+1 \Leftrightarrow t \in <-3;0) $
              $ 1-t \Leftrightarrow t \in <0;3> $

Obě funkce jsou spojité na <-3;3>, křivka má tři konce a určitě ji nenakreslíš jedním tahem.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#18 27. 10. 2015 18:11 — Editoval vanok (29. 10. 2015 17:22)

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Pozdravujem,
Vraciam sa k tomuto vlaknu tym, ze si tu podiskutujeme o pojme "krivka"
Ako to tu uz bolo napisane, je viac ciest co sa tykaju tohto pojmu.
Prva je definicia krivky vdaka jej parametrickych  representacii.
Druha je vdaka implicitnym rovniciam.
Na koniec je cisto topologicka cesta. Vtedy krivka je cast afinneho priestoru dimensie n ( kde definujeme pojem dimensii niektorych jeho casti, ktoreho nie su jeho podpriestory), ktora je dimensie 1.(podobne plocha je cast dimensii 2). Pojem dimensie je dost delikatny, tak zacnime diskutovat o prvych dvoch pristupoch. ( Nakoniec sa to aj tak robi aj na zaciatku vysokoskolskeho studia.)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 29. 10. 2015 17:21

vanok
Příspěvky: 14314
Reputace:   740 
 

Re: Křivka se třemi krajními body

Akoze nie je tu vela diskuzie, dam mozne cesty konstrukcie kriviek, pripadnym zaujemcom len  vo forme PM.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson