Matematické Fórum

Doubek · 21. 10. 2015 15:00

Zdravím potřeboval bych prosím poradit s jedním příkladem:

Prachová částice zanedbatelné hmotnosti padá v homogenním tíhovém poli skrz oblast nasycenou vodními parami. Páry na částici kondenzují tak, že hmotnost vznikající kapky vzroste na každém uraženém centimetru o $\lambda$ gramů. Najděte závislost uražené dráhy a rychlosti kapky na čase.

Díky moc.

Formol · 21. 10. 2015 15:19

Zdravím.
Zkus se zamyslet nad tím, jak je ovlivněna rychlost pádu v idealizovaném případě (homogenní pole, žádný odpor prostředí) hmotností padajícího tělesa. Tedy, co dopadne ve vakuu dříve: Pírko nebo kladivo?

Můžeš na to jít i tak, že si skutečně sestavíš pohybovou rovnicí, kde bude proměnná hmotnost m(t) [kg] vyjádřena pomocí dráhy s(t):
$m(t) = \frac{\lambda s(t)}{10}$

Ale stejně se to pokrátí...

Brzls · 21. 10. 2015 18:29 — Editoval Brzls (21. 10. 2015 18:30)

↑ Formol:
Taktéž zdravím
Ta měnící se hmotnost v tom právě dělá dost bordel.
Platí

$F=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}\not=m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$ (už i Newton mluvil o změně hybnosti, což je v celku zajímavé)

nedopočítával jsem to, ale nepřijde mi, že by triviálně šlo říct, že se něco vykrátí. Naopak mi přijde, že vše nasvědčuje tomu, že analogie s pírkem a kladivem nebude fungovat

Formol · 21. 10. 2015 19:52

↑ Brzls:
Zdravím,
tak jsem to zkusil rychle přepočítat (protože jsem tele a na tu "drobnost" s hybností jsem zapomněl). A vypadá to, že máme pravdu oba - pokud jsem neudělal chybu, tak se hmotnost i v tomto případě vykrátí, ale současně to v tom udělá trochu bordel. Takže závislost dráhy na čase bude stále polynom druhého stupně nezávislý na hmotnosti i na rychlosti doplňování hmoty, ale koeficienty se budou trochu lišit od volného pádu.

Postupoval jsem následujícím způsobem:
$F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} (mv) = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}v + \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}m = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}m$

Ze zadání:
$m=\frac{\lambda}{10}s$

a časová derivace:
$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = \frac{\lambda}{10} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

Gravitační síla samozřejmě závisí na hmotnosti:
$F = mg = \frac{\lambda}{10}s$

No a po pár úpravách jsem dostal diferenciální rovnici:
$\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2} s + \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \right)^2 - gs = 0$

No a jejím řešením by mohl být polynom druhého stupně.

(ale přiznávám se, že teď si sám vůbec nejsem jistý správností úvah...)