Matematické Fórum

malarad · 24. 10. 2015 17:53

Narazil jsem na limitu, u které nevím, prosím o pomoc
děkuji

$\lim_{x\to+\infty }e^{-2x}\cos (3x+1)$

pokud to roztrhneme na součin dvou limit $\lim_{x\to+\infty }e^{-2x}\cdot \lim_{x\to+\infty }\cos (3x+1)$
tak pravá limita přece neexistuje, když je argument cos nekonečno

Freedy · 24. 10. 2015 18:14

Ahoj,

to je sice pravda, že neexistuje. Tobě ale stačí, že víš, že daná funkce je v nekonečnu omezená.
Pokud je f(x) omezená a $\lim_{x\to\infty }g(x)=0$ pak $\lim_{x\to\infty }g(x)f(x)=0$

malarad · 24. 10. 2015 18:41

↑ Freedy:
děkuju,
$\lim_{x\to+\infty }e^{-2x}$ = $0$
pokud limita $\lim_{x\to+\infty }\cos (3x+1)$ neexistuje, tak jsem předpokládal, že celý příklad "nemá řešení" něco ve smyslu jako třeba(zcela náhodný přílad)
$\frac{21}{0}+\frac{8}{4}$

Freedy · 24. 10. 2015 18:47

↑ malarad:
není moc korektní psát 0 do jmenovatele.
Náhodný příklad, co jsi vymyslel řešení mít může.
Například $\lim_{x\to0}\frac{21}{x^2}+\frac{x+8}{4}$

malarad · 24. 10. 2015 18:54

↑ Freedy:
já ten náhodný příklad vůbec nemyslel jako limitu, ale jen pro představu jak jsem to zprvu předpokládal. Myslel jsem, že pokud nemá cos limitu v plus nekonečnu, tak celý příklad "nemá řešení"

Psal jsi:
to je sice pravda, že neexistuje. Tobě ale stačí, že víš, že daná funkce je v nekonečnu omezená.
Pokud je f(x) omezená a $\lim_{x\to\infty }g(x)=0$ pak $\lim_{x\to\infty }g(x)f(x)=0$

tou funkcí omezenou- f(x) jsi asi myslel to $\lim_{x\to+\infty }\cos (3x+1)$ ??? Omezená je tedy fe funkční hodnotě od -1 do +1, nebo jak vůbec vypadá funkce cos (3x+1) v hodnotě x jde do $+\infty$

Al1 · 24. 10. 2015 19:01

↑ malarad:

Zdravím,

platí $-1\le \cos (3x+1)\le -1$ , proto řekneme, že je fce omezená. Funkční hodnota, když x jde do $+\infty$ samozřejmě neexistuje. Fce je periodická s periodou $\frac{2\pi }{3}$ a její funkční hodnota se mění od -1 do1.

Freedy · 24. 10. 2015 19:03

Ahoj,

je to funkce, která je omezená. To znamená, že limita dané funkce v nekonečnu neodbíhá do +-nekonečna.
Funkce, která nemá limitu v nekonečnu a vůbec by se o ni nedalo bavit by byla například $\frac{1}{\cos x}$ .

malarad · 24. 10. 2015 19:06

↑ Al1:
díky, už mi to konečně došlo

malarad · 24. 10. 2015 19:08

↑ Freedy:
je mi to jasný, sice argument funkce $\cos$ je nekonečno, ale funkce samotná stále osciluje ve funkčních hodnotách jako třeba $\cos (2x)$ a ve dvojnásobných funkčních hodnotách by to bylo třeba $2\cos (2x)$ , pokud se nemýlím

malarad · 24. 10. 2015 19:25

Ještě bych poprosil tedy, jak se mám postavit k tomuto příkladu? Nechci zakládat nový příspěvek, protože to chci přímo porovnat s příkladem úvodním.
$\lim_{x\to+\infty } e^{2x}\cos x$
tento příklad by měl vyjít jako nekonečno v porovnání s příkladem na začátku tohoto vlákna, proč tedy limita z tohoto příkladu neexistuje?

malarad · 24. 10. 2015 19:52

↑ malarad:
$\lim_{x\to+\infty }e^{2x}$ = $\infty$

Al1 · 24. 10. 2015 20:00

↑ malarad:

Kolega ti napsal jednu z vět o limitě funkce
Pokud je f(x) omezená a $\lim_{x\to\infty }g(x)=0$ pak $\lim_{x\to\infty }g(x)f(x)=0$

Ovšem $\lim_{x\to+\infty } e^{2x}\cos x$ podmínky věty nesplňuje, tedy tuto větu nelze k výpočtu užít.

věty o limitách funkcí

Freedy · 24. 10. 2015 20:00

Ahoj,

funkce cos(x) se pohybuje v intervalu <-1;1>. Jelikož funkce $\mathrm{e}^{2x}$ je rostoucí a má limitu jak si správně napsal $\lim_{x\to\infty }\mathrm{e}^{2x}=\infty$ tak limita $\lim_{x\to\infty }\mathrm{e}^{2x}\cos x$ nemůže existovat, jelikož jsi divergentní funkci vynásobil divergentní funkcí.
Zkrátka daná funkce v nekonečnu osciluje mezi + nekonečnem a - nekonečnem.

malarad · 24. 10. 2015 20:07

↑ Al1:↑ Freedy:
děkuji pánové, ono to dává smysl, když se nad tím zamyslím

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2015 17:53

limita gon.funkce

#2 24. 10. 2015 18:14

Re: limita gon.funkce

#3 24. 10. 2015 18:41

Re: limita gon.funkce

#4 24. 10. 2015 18:47

Re: limita gon.funkce

#5 24. 10. 2015 18:54

Re: limita gon.funkce

#6 24. 10. 2015 19:01

Re: limita gon.funkce

#7 24. 10. 2015 19:03

Re: limita gon.funkce

#8 24. 10. 2015 19:06

Re: limita gon.funkce

#9 24. 10. 2015 19:08

Re: limita gon.funkce

#10 24. 10. 2015 19:25

Re: limita gon.funkce

#11 24. 10. 2015 19:52

Re: limita gon.funkce

#12 24. 10. 2015 20:00

Re: limita gon.funkce

#13 24. 10. 2015 20:00

Re: limita gon.funkce

#14 24. 10. 2015 20:07

Re: limita gon.funkce

Zápatí