Matematické Fórum

halogan

Hezký víkend,

dnes přicházím s jednou nezajímavou a vlastně i nudnou úlohou. Nebudu ji zadávat konkrétně (výsledek mě až tak nezajímá), ale jde mi o váš postup podle toho, co (a zda vůbec) studujete. Zadání:

Mějme přímku v prostoru zadanou parametricky a jeden bod, který na ní neleží. Jak spočítáte vzdálenost bodu od této přímky (tj. nejkratší možnou)?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: Ivanko, vše nejlepší k svátku :)

joker · 04. 04. 2009 09:46

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ale to bude asi pitomé řešení, že?

halogan · 04. 04. 2009 09:55

↑ joker:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

joker · 04. 04. 2009 09:58 — Editoval joker (04. 04. 2009 10:07)

↑ halogan:
Jo pardon, já přehlídl nejdůležitější slovo "v prostoru" :D . Ještě asi spím!

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Chrpa · 04. 04. 2009 12:18

↑ halogan:
Řešil bych to takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lukaszh · 04. 04. 2009 12:34

↑ halogan:
Ak uvažujem priamku so smerovým vektorom $\vec{u}\in\mathbb{R}^n$ , ktorá prechádza počiatkom [0,0,...,0], potom to isté, čo ti ukáže derivácia je ortogonálna projekcia. Tú priamku, ktorá je daná parametricky si jednoducho posuniem tak, aby prechádzala bodom [0,0,...,0], a tým posuniem aj bod $\vec{x}$ do bodu $\vec{x}'$ , ktorého vzdialenosť počítam. Vzdialenosti sa zanechávajú. Vypočítam projekciu vektora $\vec{x}'$ na priamku $p(\vec{u})$ , potom vzdialenosť tohto bodu od priamky je $||\vec{x}'-\rm{proj}_{\vec{u}}(\vec{x}')||$ , kde operátor projekcie je
$\rm{proj}_{\vec{u}}(\vec{x})=\frac{(\vec{u},\vec{x})}{(\vec{u},\vec{u})}\vec{u}$
Jednoduchý príklad: Mám priamku v priestore R^3, danú

a bod $\vec{x}=\begin{pmatrix}2\nl2\nl2\end{pmatrix}$
Priamku posuniem do nuly, stačí odčítať ten bod, ktorým prechádza

a samozrejme aj bod $\vec{x}'=\begin{pmatrix}2\nl2\nl2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\nl3\nl4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\nl-1\nl-2\end{pmatrix}$
Vypočítam projekciu
$\frac{\begin{pmatrix}1&-1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\nl3\nl-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\nl3\nl-1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}2\nl3\nl-1\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}2\nl3\nl-1\end{pmatrix}$
Teraz stačí vypočítať dĺžku
$\|\vec{x}'-\rm{proj}_{\vec{u}}(\vec{x}')\|=\|\begin{pmatrix}1\nl-1\nl-2\end{pmatrix}-\frac{1}{7}\begin{pmatrix}2\nl3\nl-1\end{pmatrix}\|=\sqrt{\frac{25}{49}+\frac{100}{49}+\frac{169}{49}}=\sqrt{6}$

Postup mám z vysokej školy, myšlienky sú elementárne. Dúfam, že výpočet je správny :D

halogan · 04. 04. 2009 21:10

Můj postup:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lukaszh · 04. 04. 2009 21:13

↑ halogan:
Nie je to nič iné, ako prepísané rozprávanie kolegu ↑ Chrpa:. Keď sa budeš na škole zaoberať projekciami tak si spomeň :)

halogan · 04. 04. 2009 21:22

↑ lukaszh:

Já právě postup kolegy ↑ Chrpa: nějak nepobírám. Jen tak si najde normálový vektor a zrovna má ten správný :) Nebo jak to nerozepsal, tak nejsem z jeho vysvětlení moudrý.

Z toho tvého je vidět, že jakmile má člověk lepší "zbraně", nebojí se jich použít.

marnes · 04. 04. 2009 21:46 — Editoval marnes (06. 04. 2009 12:44)

↑ halogan:Pokud se mohu zapojit do diskuze a jsme v oddělení střední školy, dal bych určitě přednost analytice:-). A není to ani tak zdlouhavé. Metodu nastínil Joker - znám směrový vektor přímky=normálový roviny. Najdu rovinu procházející zadaným bodem - určím průsečík roviny s přímkou - vzdálenost dvou bodů

Teď se mi dostala do rukou publikace, kde se daný problém řeší 10!!! různými způsoby:-) Kdyby byl zájem, mohu naskenovat.

marnes · 06. 04. 2009 12:45

↑ halogan:
Teď se mi dostala do rukou publikace, kde se daný problém řeší 10!!! různými způsoby:-) Kdyby byl zájem, mohu naskenovat.

halogan · 06. 04. 2009 13:14

marnes: právě proto to sem píšu, abych viděl, kdo volí jaký.

Naskenuj, rád se podívám.

marnes · 07. 04. 2009 07:49

↑ halogan:Zdroj MFI 18/08/09

Cheop · 07. 04. 2009 08:10 — Editoval Cheop (07. 04. 2009 08:10)

↑ halogan:
Moje řešení (od Chrpa) je přesně řešení č.3) od Marnes (příspěvek 13)
Nemohl jsi ho z mého popisu pochopit.
Uznávám, že popis byl takový nic moc, ale když jsi nedal konkrétní
zadání, pak byl postup jen obecný.

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2009 09:20 — Editoval halogan (04. 04. 2009 09:40)

Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#2 04. 04. 2009 09:46

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#3 04. 04. 2009 09:55

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#4 04. 04. 2009 09:58 — Editoval joker (04. 04. 2009 10:07)

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#5 04. 04. 2009 12:18

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#6 04. 04. 2009 12:34

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#7 04. 04. 2009 21:10

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#8 04. 04. 2009 21:13

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#9 04. 04. 2009 21:22

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#10 04. 04. 2009 21:46 — Editoval marnes (06. 04. 2009 12:44)

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#11 06. 04. 2009 12:45

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#12 06. 04. 2009 13:14

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#13 07. 04. 2009 07:49

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#14 07. 04. 2009 08:10 — Editoval Cheop (07. 04. 2009 08:10)

Re: Různé postupy řešení: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

Zápatí