Matematické Fórum

Contemplator · 31. 10. 2015 10:44

Dobrý deň, prosim vás mohol by mi niekto povedať ako riešiť lim. typu: $\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}$

Al1 · 31. 10. 2015 11:21

↑ Contemplator:

Zdravím,

užij
$\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{kx}=1$

Contemplator · 31. 10. 2015 11:50

↑ Al1: to je nejaký "vzorec" ? a ako sa dá vysvetliť alebo odvodiť prosím? Nejak mi to nejde do hlavy, že iba tak vynechám funkciu $\sin$

zdenek1 · 31. 10. 2015 13:03

↑ Contemplator:
Odkaz

Contemplator · 31. 10. 2015 13:53

Ok, L´Hospitalovo pravidlo chápem, ďakujem, ale čo znamená $\lim_{x\to0}\frac{\sin kx}{kx}=1$ odkial to je?

Rumburak

↑ Contemplator:
Ahoj.

Je dobré si pamatovat vzorec

(1) $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ,

který se dá odvodit buďto pomocí pravidla pana markýze de L'Hospital, případně geometrickými úvahami
okolo definic goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkové kružnice.

Použitím vzorce (1) a věty o limitě složené funkce se pak snadno počítají další limity příbuzného tvaru. Např.

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{3x}= \lim_{x \to 0} \frac{2}{3}\cdot\frac{\sin 2x}{2x}= \lim_{y \to 0} \frac{2}{3}\cdot\frac{\sin y}{y}= ...$

(substituce $2x = y$ ).

Contemplator · 17. 01. 2016 18:35

↑ Rumburak: Takže větu o limitě složené funkce mám chápať nejako takto:? //forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/52003_dvvfvfv.png to ale nie je rovnaké ako keď vynásobím zlomok 1 vo vhodnom tvare. Chápem to dobre, alebo ako si potom spravil $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{3x}= \lim_{x \to 0} \frac{2}{3}\cdot\frac{\sin 2x}{2x}= \lim_{y \to 0} \frac{2}{3}\cdot\frac{\sin y}{y}= ...$ keď to mám otočené - : $\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin 3x}$ ??tak ako

Rumburak

↑ Contemplator:

Připadá mi, žes to pochopil správně. Provádíme úpravy výrazu takové, abychom tam dostali $\frac {\sin y}{y}$
pro nějaké $y \to 0$ a pak využili známý fakt, že

(1) $\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y}=1$ .

Odpověď na druhý dotaz:

Pakliže $y \ne 0 \ne \sin y$ , potom $\frac{y}{\sin y}= $\frac{\sin y}{y}$^{-1}$ a tedy podle (1) a věty o limitě podílu
dvou funkcí (obecněji podle věty o limitě složené funkce) bude

$\lim_{y \to 0}\frac{y}{\sin y}= \lim_{y \to 0}$\frac{\sin y}{y}$^{-1} = $\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y}$^{-1} = 1^{-1} = 1$ .

Tím dostáváme vzorec

(2) $\lim_{y \to 0}\frac{y}{\sin y}=1$ ,

který můžeme využívat analogickým způsobem jako vzorec (1).

Contemplator · 18. 01. 2016 13:12

↑ Rumburak: Pakliže $y \ne 0 \ne \sin y$ , potom $\frac{y}{\sin y}= $\frac{\sin y}{y}$^{-1}$ a tedy podle (1) a věty o limitě podílu
dvou funkcí (obecněji podle věty o limitě složené funkce) - tá veta popisuje v tomto prípade krok z 2. výrazu na 3.? veta o limite podielu je toto nie? - (limita podielu = podiel 2 limit) a veta o zloženej f. je čo?

Rumburak

↑ Contemplator:

Věta o limitě složené funkce má několik versí, napříkilad:

Jestliže $\lim_{x \to a} g(x) = b$ a $f$ je spojitá v bodě $b$ , potom

$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$

V úloze, kterou jsme se naposledy zabývalii, můžeme alternativně použít i větu o limitě složené funkce pro

$g(x) = \frac {\sin x}{x} , f(y) = y^{-1}$ .

Contemplator · 18. 01. 2016 15:13

Aha, ok, a ešte 1 otázka platí aj toto?(asi nie čo?): $\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}=1$

Rumburak

↑ Contemplator:

Neplatí - ale chápu, žes měl na mysli $\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}=1$ , což platí (věta o limitě součinu funkcí
případně věta o limïtě složené funkce). Na takovéto "maličkosti" si musíme dávat pozor, protože
často rozhodují o věcné stránce dotyčného sdělení. Zápis $f(x) = A$ , pokud k němu nic nedodáme,
znamená rovnici, která může mít nějaké řešeni nebo nemusí, zatímco $\lim_{x\to a}f(x) = A$ je tvrzení,
které říká, že funkce $f$ má v bodě $a$ limitu $A$ , což je kvalitativně něco jiného.

Contemplator

↑ Rumburak: Len pre istotu. Potom musí platiť aj toto nie?: $\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{n}x}{x^{n}}=1$ , pričom: $n\in \mathbb{C}$ pretože: $\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{n}x}{x^{n}}=\lim_{x\to0}(\frac{\sin x}{x})^{n}$ ? :)

Rumburak · 19. 01. 2016 10:20

↑ Contemplator:

Co je $\mathbb{C}$ ?

Contemplator

↑ Rumburak: komplexné čísla - tam môžu byť nie?? keĎže 1 na hocičo =1

Rumburak · 19. 01. 2016 11:13

↑ Contemplator:

Tady může být problém s definicí mocniny s komplexním exponentem, která není nijak elementární
a vyžaduje "pokročilé" znalosti z vysokoškolské matematiky.

Nechť $z = x + y\mathrm{i}$ je kiomplexní číslo v algebraickém tvaru (tj. $x, y$ jsou raálná čísla).

I. Je-li $\mathrm{e}$ základ přirozených logaritmů, potom lze definovat

$\mathrm{e}^z := \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i} \sin y)$ .

II. Je-li $a > 0$ , potom $a^z := \mathrm{e}^{z \ln a}$ , kde $\ln a$ je přirozený logaritmus čísla $a$ .

A to neříkám nic o případu $a < 0$ , který by u $\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{n}x}{x^{n}}$ bylo nutno brát v úvahu.

Víš o tom něco ? Pochybuji, že jste to už na SŠ už brali. :=)

Contemplator · 23. 01. 2016 18:51

↑ Rumburak: $\mathrm{e}^z := \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i} \sin y)$ mi pripomín exponencialny tvar komplex. čísla - take to bude niečo s tým , ale nechápem tomu

Rumburak · 26. 01. 2016 10:45

↑ Contemplator:

Pakliže $n\in \mathbb{C}$ , tj. $n = a + b \mathrm{i} , a, b \in \mathbb{R}$ , pak pro $x > 0$ je $x^n = x^{a + b \mathrm{i}} = x^a x^{b \mathrm{i}}$ ,

kde $x^{b \mathrm{i}} = \mathrm{e}^{b \mathrm{i} \ln x} = \cos (b \ln x) + \mathrm{i} \sin (b \ln x)$ .

V naší úloze bychom pak mohli vyšetřovat $\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{n}x}{x^{n}}$ pro $x$ reálné s upřesněním na $x \to 0+$ .

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2015 10:44

typ limity

#2 31. 10. 2015 11:21

Re: typ limity

#3 31. 10. 2015 11:24 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Neskora pomoc

#4 31. 10. 2015 11:50

Re: typ limity

#5 31. 10. 2015 13:03

Re: typ limity

#6 31. 10. 2015 13:53

Re: typ limity

#7 31. 10. 2015 14:06 — Editoval Rumburak (31. 10. 2015 14:12)

Re: typ limity

#8 17. 01. 2016 18:35

Re: typ limity

#9 18. 01. 2016 09:11 — Editoval Rumburak (18. 01. 2016 09:13)

Re: typ limity

#10 18. 01. 2016 13:12

Re: typ limity

#11 18. 01. 2016 14:45 — Editoval Rumburak (18. 01. 2016 14:51)

Re: typ limity

#12 18. 01. 2016 15:13

Re: typ limity

#13 18. 01. 2016 15:24 — Editoval Rumburak (18. 01. 2016 15:42)

Re: typ limity

#14 18. 01. 2016 21:41 — Editoval Contemplator (18. 01. 2016 21:44)

Re: typ limity

#15 19. 01. 2016 10:20

Re: typ limity

#16 19. 01. 2016 10:32 — Editoval Contemplator (19. 01. 2016 10:33)

Re: typ limity

#17 19. 01. 2016 11:13

Re: typ limity

#18 23. 01. 2016 18:51

Re: typ limity

#19 26. 01. 2016 10:45

Re: typ limity

Zápatí