Matematické Fórum

bert.blader · 10. 11. 2015 16:28

Dobrý den,

mám za úkol ověřit správnost této limity:
$\lim_{n\to+\infty }\frac{n^2 - 2n}{n+1} = +\infty$

Místo nekonečna si napíšu nějaké písmeno (Např. "K") a řeším následující nerovnici:

$|K -\frac{n^2 - 2n}{n+1} | < \varepsilon$

měl bych se dostat k následujícímu výsledku, ale to se mi zatím nijak nedaří, nevím jak mám touto cestou ověřovat limity rovnající se nekonečnu.

$n_{0} = [\log^2_{}K] + 1$

byk7 · 10. 11. 2015 16:37

Definice nevlastní limity je jiná. :-)
pokud platí $(\forall K)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall n\ge n_0)(a_n>K)$ , pak píšeme, že $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$

vanok · 10. 11. 2015 16:51

Ak chces robit dokaz len pouzitim definicii, ako ti ju spravne napisal kolega ↑ byk7:,
Tak vyber lubovolne $K>0$ ( pre négativne K je to este lahsie)
Treba dokazat, ze mozes najst $n_0$ take ze posledna rovnost v definici plati.
Vieme, ze $\frac{n^2 - 2n}{n+1} = n-3\frac n{n-1}$
Ake $n_0$ mozes vybrat?

bert.blader · 10. 11. 2015 17:32

Nějak to nechápu,

chci tedy řešit následující nerovnici:

$n -3\frac {n}{n+1} > K$

aby by byl výraz větší než libovolné kladné K, tak musí být levá strana kladná, což je splněno pro všechna n > 2.

Nyní, předpokládám, musím nerovnici upravit tak, abych z ní vyjádřil závislost mezi n a K.
když nerovnici upravím tak získám:

$n^2 - (2+K)n - K > 0$

přijde mi, že řešením této nerovnice jsem se nikam moc neposunul, nevychází to nijak jednoduše, asi by se to mělo dělat jiným postupem...

Al1 · 10. 11. 2015 17:57

↑ vanok:

Zdravím,

$\frac{n^2 - 2n}{n+1} = n-3+\frac {3}{n+1}$

vanok · 10. 11. 2015 18:02

↑ bert.blader:
Nie nerovnost >K musi platit pre nekonecne vela cisiel n vädcich ako $n_0$

vanok · 10. 11. 2015 18:05 — Editoval vanok (10. 11. 2015 18:06)

↑ Al1:
Ahoj
Ano To da este jednoduchsi vyber pre $n_0$
Dufam ze To kolega dokaze vyuzit.

vanok · 10. 11. 2015 18:36

Vidis, ze vyber $n_0=[K]+5$ napriklad vyhovuje danej definicii

Poznamka:tato definicia v poslednej casti, sa da vyjadrit aj tak, ze $a_n \in ]K,+\infty[$ (posledny zapis je pre interval.... )

bert.blader

A to je celé? Samozřejmě je mi jasné, že to platí, ale úplně mě zmátlo, že ve výsledcích, které mám k dispozici, je napsáno
$n_{0} = [log^2K] +1$ , tak jsem myslel, že se budu muset nějakou úpravou dostat k něčemu podobnému, ale nic mě nenapadlo.

Takže si mohu říct například, že $n_{0} = [K^4]+13$ , tady taky platí, že $\forall n \ge n_{0} > K$ (protože $[K^4]+13 > K$ )

Je to tak?

vanok · 10. 11. 2015 19:47

↑ bert.blader:,
Tam mas tisice moznosti. No vsak taketo dokazy su skor prechodna etapa. A velmi skoro prides k veta ktore ti zlahcia zivot ( z limitami pochopitelne)
Ale aj tam treba byt precizny a robit dosledne dokazy

bert.blader · 10. 11. 2015 21:58

Tak uz to chápu, děkuji za trpelivost a za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 10. 11. 2015 16:28

Oveření limity posloupnsti

#2 10. 11. 2015 16:37

Re: Oveření limity posloupnsti

#3 10. 11. 2015 16:51

Re: Oveření limity posloupnsti

#4 10. 11. 2015 17:32

Re: Oveření limity posloupnsti

#5 10. 11. 2015 17:57

Re: Oveření limity posloupnsti

#6 10. 11. 2015 18:02

Re: Oveření limity posloupnsti

#7 10. 11. 2015 18:05 — Editoval vanok (10. 11. 2015 18:06)

Re: Oveření limity posloupnsti

#8 10. 11. 2015 18:36

Re: Oveření limity posloupnsti

#9 10. 11. 2015 18:56 — Editoval bert.blader (10. 11. 2015 19:08)

Re: Oveření limity posloupnsti

#10 10. 11. 2015 19:47

Re: Oveření limity posloupnsti

#11 10. 11. 2015 21:58

Re: Oveření limity posloupnsti

Zápatí