Matematické Fórum

Pritt · 17. 11. 2015 10:03

Zdravím,
mám dokázat pomocí definice limity posloupnosti následující:
$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n}{n+i} = 1$
Napsal jsem si to teda podle definice
$(\forall \epsilon > 0)(\exists n_{0})(\forall n \in \mathbb{N}, n>n_{0} )(|\frac{n}{n+i}-1|< \epsilon)$
Výsledky sice nemám, ale když jsem to zkoušel dopočítat, tak se mi to nějak nezdálo. Poradil by někdo, jak řešit tuto úlohu, kde vystupuje komplexní čísla?

byk7 · 17. 11. 2015 10:43

↑ Pritt: Opravdu značí "i" imaginární jednotku, nebo je to chyba v zadání?

Pritt · 17. 11. 2015 10:57

↑ byk7:
Výslovně to tady napsané není, ale třeba hned další příklad je $\lim_{n \rightarrow +\infty }{n \cdot i^{n}} = \infty$
Takže tto podle mě je imaginární jednotka

byk7 · 17. 11. 2015 11:34

↑ Pritt: Já bych spíš řekl, že to libovolné ale jinak pevně zvolené kladné celé číslo.

$\lim_{n \rightarrow +\infty }{n \cdot i^{n}} = \infty$ neplatí, pokud je "i" imaginární jednotka, protože by ta posloupnost oscilovala. (Uvaž, jak se chová "i" při umocňování.)

Pritt · 17. 11. 2015 12:02 — Editoval Pritt (17. 11. 2015 12:29)

↑ byk7:

Pokud bych byl v komplexních číslech, tak proč by ta limita nemohla existovat?
Tam přeci znamená trochu něco jiného než v číslech reálných.

Freedy · 17. 11. 2015 12:25 — Editoval Freedy (17. 11. 2015 12:26)

Ahoj,

limita posloupnosti komplexních čísel je
$\lim_{n\to\infty }a_n=A\in \mathbb{C}$ právě tehdy, když
$\big(\lim_{n\to\infty }\text{Re}(a_n)=\text{Re}(A)\big)\wedge \big(\lim_{n\to\infty }\text{Im}(a_n)=\text{Im}(A)\big)$

Z tvé posloupnosti lze vybrat 2 podposloupnosti $\{a_{n_k}\}$ , například
$n_{k_1}=4k$ ---> $\lim_{k\to\infty }n\cdot \text{i}^{4k}=\lim_{k\to\infty }n\cdot 1^{k}=+\infty$
$n_{k_2}=4k+2$ ---> $\lim_{k\to\infty }n\cdot \text{i}^{4k+2}=-\lim_{k\to\infty }n\cdot 1^{k}=-\infty$

A máš tedy 2 různé limity vybraných posloupností z posloupnosti an. Tedy původní limita neexistuje.

Bati · 17. 11. 2015 13:04 — Editoval Bati (17. 11. 2015 13:34)

↑ Freedy:↑ byk7:
On tam ale má $\infty$ , což může znamenat komplexní nekonečno, a ne $\pm\infty$ . A potom ta limita je správná, protože $r=|ni^n|=|n|\to+\infty$ .

Speciálně pro ↑ Freedy:: Z té věty, co jsi napsal pouze plyne, že limita neexistuje v $\mathbb{C}$ , což je celkem triviální pravda. Ale ta limita existuje v $\overline{\mathbb{C}}$

↑ Pritt:
Řešíš tedy nerovnici
$\left|\frac{n}{n+i}-1\right|<\epsilon$ , kde $i$ je im. jendotka. Nejdřív upravíš levou stranu:
$\left|\frac{n}{n+i}-1\right|=\left|\frac{-i}{n+i}\right|=\frac1{|n+i|}$
Teď by bylo dobrý se nějak zbavit i. Potřebuješ tedy odhadnout shora výraz $\frac1{|n+i|}$ , tzn. zespoda výraz $|n+i|$ , aby v něm nebylo i. Jestliže ale $n\in\mathbb{N}$ , tak $|n+i|>|n-0|=n$ , protože vzdálenost mezi 1 a -i je větší než mezi 1 a 0. To samý pro 2, 3, atd. Tzn., že ti stačí najít $n_0$ , aby pro $n\geq n_0$ platilo $\tfrac1n<\epsilon$ . Teď už bys to měl dát dohromady.

byk7 · 17. 11. 2015 13:54

↑ Bati: Díky za upřesnění.

Freedy · 17. 11. 2015 14:53

↑ Bati:
to zní logicky. Díky... Takže $\overline{\mathbb{C}}$ je rozšíření komplexních čísel o komplexní nekonečno? Takže limita $\lim_{n\to\infty }n(-1)^n$ v $\overline{\mathbb{C}}$ existuje, ale v $\mathbb{R}^*$ ne, tak?

Bati · 17. 11. 2015 15:48

↑ Freedy:
Ano. Je docela dobrý si $\infty$ představovat jako kružnici s poloměrem $+\infty$ .

Pritt · 17. 11. 2015 21:34

↑ Bati:

Díky za ujasnění, mezitím jsem si to dokázal, ale na základě příspěvků kolegů jsem byl trochu výsledky zmaten.. :-)

byk7 · 17. 11. 2015 21:34

↑ Pritt: Pardon.

Pritt · 17. 11. 2015 21:36

↑ byk7:

Nic se neděje, hlavně, že už je teď jasno... :)

Freedy · 17. 11. 2015 21:40

↑ byk7:
správný zápis by ale byl $\lim_{n\to\infty }n\cdot \text{i}^n=\overline{\infty }$
stále ale nerozumím tomu, proč je nutné definovat komplexní nekonečno. Vždyť se mohlo zavést takto, ne?
$\overline{\infty }=\{a+b\text{i};a,b\in \mathbb{R},(a\vee b)\in \{-\infty ,\infty \}\}$

Pritt · 17. 11. 2015 21:45

↑ Freedy:

To nekonečno bez "+" neznamená to samé jako to s "+".
V komplexních číslech se totiž čísla dají porovnávat pouze na základě velikosti, ale ne jako v reálných číslech.
Neplatí a < b, nebo a > b ale |a| <> |b|, čili tam žádné "-" nekonečno ani nemůže být.

Freedy · 17. 11. 2015 21:48

↑ Pritt: ale to v rozporu není. A chápu, taky že by $-\infty +2\text{i}$ bylo něco jiného jako $3 + \text{i}\infty$ ale chovalo by se to podobně jako komplexní nekonečno.

Pritt · 17. 11. 2015 21:59

↑ Freedy:

Komplexní nekonečno $\infty$ by mohlo být definované třeba takto: $|\infty|=+\infty$
A řekl bych, že to je to, co si sám napsal. Jinak bych nezaměňoval $\infty\;\;\;\;\;a\;\;\;\;+\infty$

Bati · 17. 11. 2015 22:51

↑ Freedy:
Zápis $\overbar{\infty}$ se nepoužívá. Tvá definice je hodně divná, jsou tam vlastně jen čtyři body a musíš pracovat s argumenty kompl. čísel. Definice pomocí $|z|$ je naopak naprosto přirozená, a hodí se např. když chceš rozumně pracovat s funkcemi jako $\tfrac1x$ v $\mathbb{C}$ . Pro podrobnosti si počkej do třeťáku, nebo si přečti tohle, str. 16 - 20.

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2015 10:03

Definice limity posloupnosti

#2 17. 11. 2015 10:43

Re: Definice limity posloupnosti

#3 17. 11. 2015 10:57

Re: Definice limity posloupnosti

#4 17. 11. 2015 11:34

Re: Definice limity posloupnosti

#5 17. 11. 2015 12:02 — Editoval Pritt (17. 11. 2015 12:29)

Re: Definice limity posloupnosti

#6 17. 11. 2015 12:25 — Editoval Freedy (17. 11. 2015 12:26)

Re: Definice limity posloupnosti

#7 17. 11. 2015 13:04 — Editoval Bati (17. 11. 2015 13:34)

Re: Definice limity posloupnosti

#8 17. 11. 2015 13:54

Re: Definice limity posloupnosti

#9 17. 11. 2015 14:53

Re: Definice limity posloupnosti

#10 17. 11. 2015 15:48

Re: Definice limity posloupnosti

#11 17. 11. 2015 21:34

Re: Definice limity posloupnosti

#12 17. 11. 2015 21:34

Re: Definice limity posloupnosti

#13 17. 11. 2015 21:36

Re: Definice limity posloupnosti

#14 17. 11. 2015 21:40

Re: Definice limity posloupnosti

#15 17. 11. 2015 21:45

Re: Definice limity posloupnosti

#16 17. 11. 2015 21:48

Re: Definice limity posloupnosti

#17 17. 11. 2015 21:59

Re: Definice limity posloupnosti

#18 17. 11. 2015 22:51

Re: Definice limity posloupnosti

Zápatí