Matematické Fórum

kolejo · 20. 11. 2015 19:44 — Editoval kolejo (20. 11. 2015 19:44)

Dobrý večer přeji,
tak jsem narazil na takový zvláštní příklad, zadání je jasné, jak už to v teorii čísel často bývá. Nějak jsem to vyřešil, ale to řešení se mi nelíbí a zajímalo by mě, jestli někdo přijde s něčím elegantnějším.

$\text{Dokažte: } 5^n+3^n+1 \in \mathbb{P} \Rightarrow 12|n$

$\mathbb{P}$ označuji prvočísla, n přirozené číslo

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Děkuji za jakékoliv nápady.
kolejo

byk7 · 20. 11. 2015 22:16

↑ kolejo:

Nelíbí se ti to kvůli tomu, že při mocnění dostáváš velká čísla, nebo v čem je problém? No tak se na to rovnou podívej modulo 7:
$625^q+81^q+1\equiv2^q+4^q+1\pmod7$
a teď bych rozlišil ty tři možnosti...

kolejo · 20. 11. 2015 23:04

↑ byk7:

Problém mám s tím, že to tlačím docela hrubě, aby n=12m, představoval jsem si něco, kde to vyplyne přirozeněji.

To, že n=4q, to mi připadne, že jsme nalezli docela dobře, ale proč q=3m, 3m+1, 3m+2 a né třeba 5m, 5m+1,...,5m+4...

Děkuju, tady z toho
$625^q+81^q+1\equiv2^q+4^q+1\pmod7$
to jde docela vidět, protože 2^3 = 1 (mod 7)

Téma uzavřu až po vyjádření pana učitele.

Nyní trochu OT (takže šedá, jasná věc): je to k předmětu Elementární teorie čísel (Bulanta znáš?) a pro přípravu na písemku nám dal písemky z minulého roku. Ty jsem si propočítal a tenhle z těch všech dal nejvíc zabrat. Světe div se, pak jsem ho měl na písemce, takže teď už mě fakt zajímá, jak to nejlépe řešit. Pokud Bulík přijde s tím stejným, tak uzavřu hned.

S pozdravem, kolejo

byk7 · 20. 11. 2015 23:17

↑ kolejo: Proč brát $q\equiv 0,1,2\pmod 3$ ? Na zdůvodnění bych šel trochu nematematicky. V zadání úlohy je "dokažte", takže bych si troufl předpokládat, že tvrzení platí, a protože už máme dělitelnost čtyřmi, musíme dostat do hry tu trojku, tak proč to neodzkoušet. :)

Nechci mystifikovat, ale mám za to, že podobné příklady se vyskytují v Metodách I.

Bulanta znám, tři roky jsem ho měl na gymplu. Na teorii čísel jsem párkrát byl, ale že by mi to zas přišlo tak zajímavé, to asi ne. :)

kolejo · 20. 11. 2015 23:27

↑ byk7:

Jasně, proč to neodzkoušet. To tvrzení platí. Asi v tom chci vidět tu těžší verzi úlohy:
Pokud je "tamto" prvočíslo, pak jakou podmínku dostáváme na "n"? Jasně, když už víme, že 12|n, tak se to nějak doklepe, dokáže, alé...asi bych nad tím měl přestat přemýšlet.

Jo, metody I. mám, Bulant je používá na cvičení.
Závěrem trochu krypticky: VS, MZ, nebo MK? což klidně ignoruj, ať se OM daří

kolejo · 25. 11. 2015 15:00

↑ byk7:

Tak po dnešku (po přednášce) už je jasné, že lepší způsob řešení nemáme. Uzavírám. Díky

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2015 19:44 — Editoval kolejo (20. 11. 2015 19:44)

teorie čísel, 5^n+3^n+1

#2 20. 11. 2015 22:16

Re: teorie čísel, 5^n+3^n+1

#3 20. 11. 2015 23:04

Re: teorie čísel, 5^n+3^n+1

#4 20. 11. 2015 23:17

Re: teorie čísel, 5^n+3^n+1

#5 20. 11. 2015 23:27

Re: teorie čísel, 5^n+3^n+1

#6 25. 11. 2015 15:00

Re: teorie čísel, 5^n+3^n+1

Zápatí