Matematické Fórum

Spaggiari

Ahoj vedel by mi niekto povedat ake typy permutacii a kolko prvkov kazdeho typu existuje v $S_{5}$ ?
Vopred Dakujem.

vanok · 12. 11. 2015 09:16

Ahoj ↑ Spaggiari:,
Vedel. No to nie je odpoved na jeden, dva riadky.
A podla pravidiel, nie je mozne aby ti niekto dal odpoved, ked sa tu caka od teba tvoj pokus riesenia.
Hint
Ak sa bas tym zamyslis uvidis, ze mas 7 typov prvkov. Napis ich, vysetri ich .... Do kopy musis najst 120 (preco).

Spaggiari · 12. 11. 2015 13:13

↑ vanok:

tak typy permutacii v S5 podla rozlozenia na cykly mozem mat:
(12345)
(1)(2345)
(12)(345)
(1)(2)(345)
(1)(2)(3)(45)
(12)(34)(5)
(1)(2)(3)(4)(5)

nie ?

vanok · 12. 11. 2015 13:43 — Editoval vanok (12. 11. 2015 13:52)

↑ Spaggiari:
A Tak skus vysertris nieco o podgrupach v ktoru y su take prvky.
Tiez si precitaj toto http://groupprops.subwiki.org/wiki/Elem … c_group:S5

Spaggiari

Ahoj, ↑ vanok:

tak asi to mam vdaka tej stranky co si poslal :)

typy | pocet prvkov v konkretnom type
_____________________________________
id 1
(12) 10
(12)(34) 15
(123) 20
(123)(45) 20
(1234) 30
(12345) 24
_______
120

este by som sa chcel spytat ci tie typy pisem takto ako som to pisal alebo vypisujem napriklad id ako 1+1+1+1+1 a podobne ostatne. A este ze na pocitanie tych prvkov v jednotlivych typoch nie je iny sposob okrem toho co je na tej stranke zverejneny. Diky

vanok · 12. 11. 2015 21:59 — Editoval vanok (13. 11. 2015 21:19)

↑ Spaggiari:
Na porozumenie situacie treba ist trocha dalej. ( podobna praca by bola uzitocna aj pre ine zname grupy)
To co pises v tabulky je aj pocet prvkov tried konjukcii prvkov kazdeho typu.
( Pozri aj sem https://en.m.wikipedia.org/wiki/Conjugacy_class. )
Do tvojej tabulky mozes pridat aj rad tych typovych prvkov.

Inac je zaujimave najst aj centralisatory typovych prvkov ( pozri toto https://en.m.wikipedia.org/wiki/Central … normalizer )

Ked to skoncis mozem pridat dalsie otazky o tejto grupe.

Poznamka: Co si na stastie vymazal o pocte moznich podgrup nebolo pravdive.

Spaggiari · 12. 11. 2015 22:28

Tak este som doplnil rad tych typovych prvkov

typy | pocet prvkov v konkretnom type | rad
________________________________________________
id 1 1
(12) 10 2
(12)(34) 15 2
(123) 20 3
(123)(45) 20 6
(1234) 30 4
(12345) 24 5
_______
120

tak a mam to tak spravne ?

ak hej tak Dakujem velmi za pomoc a povazujem to za vyriesene (v sukromi si pozriem ostatne linky :) )

vanok · 13. 11. 2015 00:52

↑ Spaggiari:,
Ano je to ok.
Ale popridavam tu dalsie detaily o tejto grupe, ktore je uzitocne vediet.

Spaggiari · 13. 11. 2015 01:27

↑ vanok:

OK jasne diky moc za pomoc :) a dakujem aj za dalsie dodatocne info o grupach :)

vanok · 13. 11. 2015 15:36

Tak hned dalsia otazka.
Urcite vsetki distingovane podgroupy grupy $S_{5}$ .

vanok · 13. 11. 2015 21:18 — Editoval vanok (13. 11. 2015 22:40)

↑ vanok:
Akoze nie je ziadna reakcia, tak dam riesenie.
Je to znamy vysledok, jedinna netrivialna distingovana podgrupa je $A_5$ .(alternovana podgrupa)

Da sa to dokazat aj takto:
Rovnica tried grupy $S_5$ je 120=1+10+15+ 20+30+24+20
Akoze kazda distingovana podgrupa je disjunktna unia tried konjunkcii ...jedna nich je ${id}$ a jej pocet prvkov je delitel cisla 120.
Ak ju oznacime $H$ , moznosti pre jej rad su 1+15+25=40, alebo 1+15+24+20.
V prvom pripade $H$ by bola unia tried konjunkcii Id,(1,2)(3,4) a (1,2,3,4,5)ktore su parne a tak $H$ by mala byt podgrupa $A_5$ co je nemozne lebo 40 nie je delitel 60.
Druhy pripad vyhovuje...
.............

Dalsia otazka je ukazat ze $S_5$ ma 156 podgrup.

vanok · 14. 11. 2015 08:25 — Editoval vanok (14. 11. 2015 08:27)

Prve informacie o hladanich podgrupach nam da Lagrange-ova teoremu o grupach.
Nech $G$ je konecna grupa, potom kazda jej podgrupa je radu, ktory je delitelom radu grupy $G$
Akoze, tu $G=S_5$ ktora ma 120 prvkov.
Preto rad hladanich podgrup musi byt delitelom cisla 120.
ktore su
$1,2,3,4,5,6,8,10,12, 15, 20,24,30, 40,60, 120$

vanok · 15. 11. 2015 00:51 — Editoval vanok (15. 11. 2015 00:52)

Podgrupy radu 2
Tie su generovane prvkamy radu 2
Je ich 10, co su generovane prvkamy typu (1,2)
a 15 generovanych prvkamy typu (1,2)(3,4)
Je zaujimave aj vyjadrit ich normalisatory a triedy konjunkcie. ( ak to niekoho zaujima, tak ich popisem)
A teraz, niekto moze ukazat, podgrupy radu 3 ?

vanok · 15. 11. 2015 12:12

Podgrupy radu 3
Tie su generovane prvkamy radu 3, akoze kazda nich ma 2 z takych prvkov, a prvkov ktorych rad je 3 mame 20 ↑ Spaggiari:, tak podgrup radu 3 je .10.
Poznamename, ze ide o groupy 3-Sylow https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sylow_theorems a ich pocet 10 pochopitelne splnuje "theorem 3" odkazu.

Tak teraz budeme napredovat z podgrupamy radu 4.

vanok · 21. 11. 2015 09:52 — Editoval vanok (21. 11. 2015 09:53)

Podgrupy radu 4
Tu sa moze vyuzit, ze $S_4$ ma take podgrupy
3 typu <(1;2;3;4)> ( cyklicke grupy)
1 typu <(1;2)(3;4);(1;3)(2;4)> tato je isomorfna z $V_4$ (Kein-ova grupa)
3 typu <(1;2)(3;4)> isomofne z $V_4$

To nam da ze $S_5$ ma taketo podgrupy radu 4

15 typu <(1;2;3;4)> ( cyklicke grupy)
5typu <(1;2)(3;4);(1;3)(2;4)> tato je isomorfna z $V_4$
15 typu <(1;2)(3;4)> isomofne z $V_4$

Akoze, tu nie je ziadna reakcia na tuto temu, tak bez spoluprace nebudem pokracovat z popisom tychto 156 podgrup.

Spaggiari · 22. 11. 2015 15:02

↑ vanok:
Ahoj, prepac ze som nereagoval :) ale nemal som naskrtnuty odber a vobec som nevedel ze si nieco pridaval :) diky moc za dalsie info :)

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2015 22:50 — Editoval Spaggiari (11. 11. 2015 22:51)

permutacie - algebra

#2 12. 11. 2015 09:16

Re: permutacie - algebra

#3 12. 11. 2015 13:13

Re: permutacie - algebra

#4 12. 11. 2015 13:43 — Editoval vanok (12. 11. 2015 13:52)

Re: permutacie - algebra

#5 12. 11. 2015 13:57 — Editoval Spaggiari (12. 11. 2015 16:51)

Re: permutacie - algebra

#6 12. 11. 2015 21:59 — Editoval vanok (13. 11. 2015 21:19)

Re: permutacie - algebra

#7 12. 11. 2015 22:28

Re: permutacie - algebra

#8 13. 11. 2015 00:52

Re: permutacie - algebra

#9 13. 11. 2015 01:27

Re: permutacie - algebra

#10 13. 11. 2015 15:36

Re: permutacie - algebra

#11 13. 11. 2015 21:18 — Editoval vanok (13. 11. 2015 22:40)

Re: permutacie - algebra

#12 14. 11. 2015 08:25 — Editoval vanok (14. 11. 2015 08:27)

Re: permutacie - algebra

#13 15. 11. 2015 00:51 — Editoval vanok (15. 11. 2015 00:52)

Re: permutacie - algebra

#14 15. 11. 2015 12:12

Re: permutacie - algebra

#15 21. 11. 2015 09:52 — Editoval vanok (21. 11. 2015 09:53)

Re: permutacie - algebra

#16 22. 11. 2015 15:02

Re: permutacie - algebra

Zápatí