Matematické Fórum

Janiii · 01. 12. 2015 11:42

Zdravím, prosím potřebuji poradit s příkladem na nalezení extrému:
Př.: Nalezněte body, ve kterých fce $f(x)=\sqrt[]{9-x^{2}}$ nabývá lokálních extrémů a určete jejich typ a určete v těchto bodech i její funkční hodnoty.
Postup atd znám, ale mám problém, když bod +/- 3 dosazuji do druhé derivace, vyjde mi nula, v tom případě znám postup, derivovat dále, dokud je derivace nenulová, když ne derivace n+1 nenulová, kde n je liché, bod mé extrém, když sudé, nemá... Ale u tohoto příkladu podle mě všechny další derivace vychází nulové protože toho x se nikdy nezbavím, ne?
Prostě vím, že tam extrém bude, ale jak to na písemce dokázat?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-12/66528_12341496_10205526440174044_506985505729573133_n.jpg

Jj · 01. 12. 2015 12:13

↑ Janiii:

Dobrý den.

Řekl bych, že něco je jinak - křivkou je zřejmě půkružnice se středem v počátku, tzn. maximum bude mít v bodě (0,3), v krajních bodech definičního oboru (+- 3) má hodnotu 0. V krajních bodech není první (ani druhá) derivace definována - tečny (jednostranné) jsou v nich kolmé na osu x.

Janiii · 01. 12. 2015 12:18

Dobrý den,
ano je to přesně jak píšete, nevím ale jak v testu "dokázat", že tam to minimum v (+-3; 0) bude, když druhá a další derivace vychází nulové... Vím, jak vypadá graf této funkce, takže vím, že tam to minimum je, ale podle zásad, které jsme se učili nevím jak to potvrdit.

Jj · 01. 12. 2015 13:14 — Editoval Jj (01. 12. 2015 13:20)

↑ Janiii:

Jedná se o spojitou funkci v intervalu -3 <= x <= 3, pomocí derivací můžete najít extrém v bodě x = 0 a určit, že je v tomto intervalu konkávní - roste zleva k maximu, pak doprava od maxima klesá, takže dosazením krajních bodů do předpisu funkce zjistíte její hodnoty v těchto bodech. V tomto případě jsou hodnoty = 0, čili jsou v nich minima (všude jinde v daném intervalu jsou hodnoty větší) - tato však nenaleznete pomocí derivací (první derivace v těchto bodech nejsou nulové - v tom děláte při výpočtu chybu - už jsem psal, že tam nejsou tyto derivace definovány.).

Janiii · 01. 12. 2015 14:56

Dobrý den,
popravě moc nechápu.. chcete tedy říct, že minima v těchto bodech nejsou?
Jinak s tou první derivací, měla by být dobře.. Hodnoty dosazuji až do druhé derivace, kde výjde u +-3 nula...

Jj · 01. 12. 2015 17:05

↑ Janiii:

Asi se vyjadřuju velmi nejasně.

$f(x)=\sqrt{9-x^2}$

$f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}$

$f''(x)=\frac{-9}{\sqrt{(9-x^2)^3}}$

Potud počítáte dobře. Ovšem

$f'(x)=0 \Rightarrow \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}} = 0 \Rightarrow x = 0$ a jiné kořeny nejsou !! (žádné +- 3)

Hodnoty +- 3 nelze dosadit do první ani druhé derivace - nulou nelze dělit, výsledek není 0 jak píšete, ale není definován.

Minima v krajních bodech +- 3 samozřejmě jsou a v mé předcházející odpovědi jsem o nich psal.

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2015 11:42

Lokální extrémy

#2 01. 12. 2015 12:13

Re: Lokální extrémy

#3 01. 12. 2015 12:18

Re: Lokální extrémy

#4 01. 12. 2015 13:14 — Editoval Jj (01. 12. 2015 13:20)

Re: Lokální extrémy

#5 01. 12. 2015 14:56

Re: Lokální extrémy

#6 01. 12. 2015 17:05

Re: Lokální extrémy

Zápatí