Matematické Fórum

Crashatorr

Zdravím, chtěl bych poprosit jestli by mi někdo mohl zkontrolovat důkaz u konvergence řady $\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}$ , $a_{k}\ge 0$
$\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konverguje $\Rightarrow$ $\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ konverguje

$\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konverguje a tedy existuje $\lim_{k\to\infty }\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=L$ kde $L<1$ pak pro $\Sigma _{k=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ existuje limita $\lim_{k\to\infty }\frac{a_{k+1}^{2}}{a_{k}^{2}}=\lim_{k\to\infty }(\frac{a_{k+1}}{a_{k}})^{2}=L^{2}$ a jestliže $L<1\Rightarrow L^{2}<1$ , kde L je kladné.

Opačná implikace neplatí, protože si vemu třeba $\Sigma _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}$ , která konverguje ale $\Sigma _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ je divergentní. Jen jak by se to dalo dokázat obecně?

Předem díky.

OndrasV · 12. 12. 2015 08:28

↑ Crashatorr: Ahoj, to je zbytečné a nemusí to být pravda. Ne jasné, že od jistého k jsou všechna $a_{n}\le 1$ , tj. $a^{2}_{n}\le a_{n}$ , řada je nezáporná a má konvergentní majorantu, tak musí být taky konvergentní.

Crashatorr · 12. 12. 2015 10:20

↑ OndrasV:
Jo tvůj důkaz chápu a je to o dost jednodušší, ale mohl bys mi prosím napsat proč by to nefungovalo jak jsem psal já? Jinak díky za odpověď.

OndrasV · 12. 12. 2015 10:27

↑ Crashatorr: Neplatí implikace ve směru, že když řada konverguje, musí mít konv. majorantu genometrickou řadu, co třeba $a_{n}=n^{-2}$ ?

Crashatorr · 12. 12. 2015 11:01

↑ OndrasV:
Teď asi nechápu co myslíš, mohl bys prosím to napsat podrobněji?

OndrasV · 12. 12. 2015 11:04

↑ Crashatorr: Nemohl, na tom příkladě jsem ukazoval, že když součet řady konverguje, tak to neznamená, že lze použít ten tvůj trik.

Crashatorr · 12. 12. 2015 12:02

↑ OndrasV:
Jo takto, dobře děkuji. Jen poslední dotaz, využívá se tedy nutné podmínky konvergence? Pokud ak konverguje pak se její sčítanci blíží k nule a tudíž pro nějaké k už musí platit, že ak<1, tím pádem pak tato řada ohraničuje řadu ak^2, protože ak^2<=ak

OndrasV · 12. 12. 2015 18:08

↑ Crashatorr: Ano, řekl jste to podle mě zcela přesně.

Crashatorr · 12. 12. 2015 18:13

↑ OndrasV:
Ještě jednou díky za pomoc a trpělivost.

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2015 01:48 — Editoval Crashatorr (12. 12. 2015 01:53)

Konvergence řad

#2 12. 12. 2015 08:28

Re: Konvergence řad

#3 12. 12. 2015 10:20

Re: Konvergence řad

#4 12. 12. 2015 10:27

Re: Konvergence řad

#5 12. 12. 2015 11:01

Re: Konvergence řad

#6 12. 12. 2015 11:04

Re: Konvergence řad

#7 12. 12. 2015 12:02

Re: Konvergence řad

#8 12. 12. 2015 18:08

Re: Konvergence řad

#9 12. 12. 2015 18:13

Re: Konvergence řad

Zápatí