Matematické Fórum

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 13:20

Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

-1 2 0 0
1 -2 2 1
-1 0 0 -2
0 -2 0 1

Mužete mi někdo poradit jak tuto matici řešit? Umím to jen pro matici 3x3.

plisna · 03. 01. 2008 14:50

postup je totozny jako u matice 3x3, problemem muze byt vypocet toho determinantu, pouzij treba laplaceuv rozvoj

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 16:11

vysli mi vlastni cisla 1 a 2. muzete mi to nekdo potvrdit jestli je to spravne?

andrew · 03. 01. 2008 17:12 — Editoval andrew (03. 01. 2008 17:30)

2Slaby_matematik : no k vysledku se muzez dobrat dvema zpusoby :
1) bud vyresis $\det(A-\lambda I) = 0$ , kde $A$ je matice ze zadani;
2) nebo vyjdes, ze znalosti tvrzeni, kde predpokladas ctvercouvou matici :

$\mathrm{Tr}(A) = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$ a $\det(A) = \prod\limits_{i=1}^n \lambda_i$

Dle me, je jednodussi moznost druha. Stopu matice mas hned. Trochu vice prace da spocitat ten determinant, ten mi vysel v Octave -12.

Jeste bych se chtel na zaver zeptat co to je resit matici? :)

plisna · 03. 01. 2008 17:41

resis rovnici $\lambda^4 + 2 \lambda^3- \lambda^2 - 2 \lambda - 12 = 0$ , koreny jsou x_1,2 = 1,70353... a x_3,4 = -2,70353..., takze zadna hezka cisla, proto se nabizi otazka: je ta matice A spravne zadana? nepreklepnul jsi se?

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 17:45

matice je zadana spravne

Kondr · 03. 01. 2008 18:22

@andrew: první a druhá možnost jsou stejně obtížné. Když totiž vyčíslíme charakteristický polynom, jak to udělal plisna, pak z Vietových vztahů je součet všech vlastních čísel -2 a součin -12 (první a poslední koeficient).

andrew · 03. 01. 2008 18:58 — Editoval andrew (03. 01. 2008 19:00)

2Kondr : první a druhá možnost jsou stejně obtížné.

Nerekl bych, ale to bude asi spis vec subjektivniho pocitu. :) U prvni moznosti se musi nejdrive spocitat determinant neboli stanovit charakteristicky polynom a pak nalezt jeho koreny. Kolega plisna, nevim jakou metodou stanovil ty koreny, sic je ma dobre, ale opomenul uvest i koreny komplexni. Takze se to opet krapet stizi. Udelat toto vse da urcite vice prace ("na papire" + zapojeni hlavy) nez ta druha moznost, kde jenom pocitas determinant a stopu .

Kondr · 03. 01. 2008 19:30

@andrew: OK. Chtěl jsem jen říct, že ty kořeny se nemusí stanovovat a že součet i součin vlastních čísel jsou koeficienty toho charakteristického polynomu, takže obě metody spočívají jen v určení jednoho determinantu.

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 19:42

mohu to pocitat nasledovne?

matici : -1 2 0 0
1 -2 2 1
-1 0 0 -2
0 -2 0 1 si nejprve upravim na matici 3x3 rozvojem podle 3 sloupce, kde jsou krome dvojky same nuly takto:

2* (-1)^2+3 * matice: -1 2 0 odectu od druheho radku r. 1 takto: -2 * matice: -1 2 0 nyni pocitam determinant jiz s lambdami:
-1 0 -2 0 -2 -2
0 -2 1 0 -2 1

det(A-λI)= -2 * matice: -1-λ 2 0 nasledoven: -2*(-1-λ)* matice: -2-λ -2 = 0 , dale: -2*(-1-λ) * [(-2-λ)*(1-λ) - (-2)*(-2)]
0 -2-λ -2 -2 1-λ
0 -2 1-λ

vyslo by mi to potom takto: -2 *(-1-λ) * (λ^2 + λ -6) = 0 , ztoho dale: -2 (-1-λ) *(λ+3)*(λ-2)= 0 a tedy koreny λ1= -1, λ2= -3 a λ3 = 2

Slo by to takto a je to spravne?

diky

andrew · 03. 01. 2008 19:56 — Editoval andrew (03. 01. 2008 19:58)

2Kondr : uz chapu :) Za predpokladu, ze nezapomenes na ty Vietovy vzorce (jako v mem pripade) tak pravdu mas. Obtiznost je stejna. Dik za pripomenuti.

robert.marik · 03. 01. 2008 19:58

Slaby_matematik napsal(a):
mohu to pocitat nasledovne?

matici : -1 2 0 0
1 -2 2 1
-1 0 0 -2
0 -2 0 1 si nejprve upravim na matici 3x3 rozvojem podle 3 sloupce, kde jsou krome dvojky same nuly takto:

2* (-1)^2+3 * matice: -1 2 0 odectu od druheho radku r. 1 takto: -2 * matice: -1 2 0 nyni pocitam determinant jiz s lambdami:
-1 0 -2 0 -2 -2
0 -2 1 0 -2 1

det(A-λI)= -2 * matice: -1-λ 2 0 nasledoven: -2*(-1-λ)* matice: -2-λ -2 = 0 , dale: -2*(-1-λ) * [(-2-λ)*(1-λ) - (-2)*(-2)]
0 -2-λ -2 -2 1-λ
0 -2 1-λ

vyslo by mi to potom takto: -2 *(-1-λ) * (λ^2 + λ -6) = 0 , ztoho dale: -2 (-1-λ) *(λ+3)*(λ-2)= 0 a tedy koreny λ1= -1, λ2= -3 a λ3 = 2

Slo by to takto a je to spravne?

diky

to ale vyjdou tri koreny! takze to je uz na prvni pohled podezrele :)

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 20:16

muzes mi tedy poradit jak to vypocitat?

robert.marik

Slaby_matematik napsal(a):
muzes mi tedy poradit jak to vypocitat?

Tak jak radili predemnou,
1. Vypocitat stopu, tj. secist cisla -1, -2, 0 a 1
2. Vypocitat ten determinant, treba rozvojem a pak sarussovym pravidlem

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 20:38

No o to prave jde vypocitat determinant u matice 4*4 jiz se zapsanymi lambdami neni nic jednoducheho, ale zkusim se jeste nad tim zamyslet.

plisna · 03. 01. 2008 21:14

Slaby_matematik · 03. 01. 2008 21:24

diky moc za nazornou ukazku:-)), vidim, ze pak ty matice 3*3 pocitas jednodusim postupem, nez jsem si vybrala ja. Je to tak o dost lepsi, diky fakt moc za ochotu a rady vsem

Everald · 03. 01. 2008 21:46

Nemohl by prosím (opravdu moc prosím) tady někdo dát postup jak to počítat?

Teoreticky vím jak na to, ale i když jsem to zkoušel několika metodama, poždé mi vyšel zápis x_2 + ... = 0 jinak.

Nevím si už s tím rady, to škaredé řecké písmeno mě tam úplně prudí:)

Díky

plisna · 03. 01. 2008 21:47

postup, jak vypocitat co? vlastni cisla a vektory? tak to si projdi tuto diskuzi a nebo na wikipedii zadej "vlastni cisla"

Everald · 03. 01. 2008 21:48

Hm tak ja to nerefrešnu a hups dva příspěvky:)

No a dále vyvstáva otázka, tak upravit ten konec, resp. jakým způsobem získám ty kořeny? (já na tu matiku fakt neměl chodit:)

plisna · 03. 01. 2008 21:49

myslis koreny toho charakteristickyho polynomu 4. stupne?

robert.marik · 03. 01. 2008 23:49

Slaby_matematik napsal(a):
No o to prave jde vypocitat determinant u matice 4*4 jiz se zapsanymi lambdami neni nic jednoducheho, ale zkusim se jeste nad tim zamyslet.

Aha, on stacil pocitat determinant te zadane matice, bez lambd. Myslel jsem ze z predchozich prispevku to bylo jasne.

Everald · 04. 01. 2008 12:46

plisna napsal(a):
myslis koreny toho charakteristickyho polynomu 4. stupne?

ano, přesně tak jak píšeš...

plisna · 04. 01. 2008 13:02

v tomto pripade velice spatne, snad podle vzorcu, pro polynom 4. stupne jeste existuji a nebo numericky

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2008 13:20

Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#2 03. 01. 2008 14:50

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#3 03. 01. 2008 16:11

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#4 03. 01. 2008 17:12 — Editoval andrew (03. 01. 2008 17:30)

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#5 03. 01. 2008 17:41

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#6 03. 01. 2008 17:45

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#7 03. 01. 2008 18:22

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#8 03. 01. 2008 18:58 — Editoval andrew (03. 01. 2008 19:00)

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#9 03. 01. 2008 19:30

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#10 03. 01. 2008 19:42

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#11 03. 01. 2008 19:56 — Editoval andrew (03. 01. 2008 19:58)

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#12 03. 01. 2008 19:58

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

Slaby_matematik napsal(a):

#13 03. 01. 2008 20:16

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#14 03. 01. 2008 20:31 — Editoval robert.marik (03. 01. 2008 20:33)

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

Slaby_matematik napsal(a):

#15 03. 01. 2008 20:38

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#16 03. 01. 2008 21:14

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#17 03. 01. 2008 21:24

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#18 03. 01. 2008 21:46

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#19 03. 01. 2008 21:47

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#20 03. 01. 2008 21:48

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#21 03. 01. 2008 21:49

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

#22 03. 01. 2008 23:49

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

Slaby_matematik napsal(a):

#23 04. 01. 2008 12:46

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

plisna napsal(a):

#24 04. 01. 2008 13:02

Re: Vypočtěte součet a součin vlastních čísel matice

Zápatí