Matematické Fórum

Ondrik_B · 23. 12. 2015 18:33

Ahoj prosim o radu s timto prikladem:

Popiste vsechny matice X, ktere komutuji s matici:
$\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

V podstate tedy resim maticovou rovnici:

$\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} X = X\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Jedno reseni je mi jasne. X= $\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} ^{-1}$

Ale nevim jak urcit dalsi reseni, popripade jak urcit kolik reseni existuje. Predem Dik y.

vanok · 23. 12. 2015 19:50

Ahoj ↑ Ondrik_B:
Niekolko poznamok
Ak sa limitujes na matice (2,2)
Potom aj
$X=\begin{pmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} ^k$ , kde k je lubovolne cislo m, vyhovuje
A najdes este nieco ine?

Ondrik_B · 25. 12. 2015 19:28

Dekuji za odpoved. Komutativitu budou jeste splonvat matice: $\forall r\in \mathbb{R}$ $X=r\cdot E$ kde E je jednotkova matice 2x2.

vanok · 25. 12. 2015 22:32

↑ Ondrik_B:,
Je ich o mnoho is u viac
To co som uz napisal ti da matricove polynomy

Na uplne riesenie pouzit vlastne hodnoty matice.....

Ondrik_B · 25. 12. 2015 22:53

↑ vanok:

Celkovym resenim tedy je to co jsme napsaly vyse + $M= a_1 X^1 + a_2 X^2 + ... + a_k X^k$ kde $k \in \mathbb{Z}$ Nebo to jeste neni vsechno?

Dukaz ze tento polynom resi nasi rovnici udelam tak, ze dle pravidla distributivity roznasobim levou i pravou stranu rovnice a zjistim ze se rovnaji.

Diky.

vanok · 25. 12. 2015 23:43

pozri aj
Commuting matrices na google.

vanok · 26. 12. 2015 09:18

Este jedna metoda
Poloz
$X=\begin{pmatrix} x& y\\ z& t \end{pmatrix}$
Dosad to do danej maticovej rovnice a vyries potom najdeny lin. system.

Ondrik_B · 26. 12. 2015 13:51

↑ vanok:

To je asi nejlepsi zpusob. Nasel jsem vyjadreni pro y a z v zavisloti na dvou parametrech x a t. Soudim ze toto je celkove reseni, ktere zahranuje vsechny priklady ktere jsme zminili vyse.

vanok · 26. 12. 2015 21:55

↑ Ondrik_B:
Ano. A je to pekne aktivita kde sa toho mozes vela naucit.

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2015 18:33

Lingebra komutujici matice

#2 23. 12. 2015 19:50

Re: Lingebra komutujici matice

#3 25. 12. 2015 19:28

Re: Lingebra komutujici matice

#4 25. 12. 2015 22:32

Re: Lingebra komutujici matice

#5 25. 12. 2015 22:53

Re: Lingebra komutujici matice

#6 25. 12. 2015 23:43

Re: Lingebra komutujici matice

#7 26. 12. 2015 09:18

Re: Lingebra komutujici matice

#8 26. 12. 2015 13:51

Re: Lingebra komutujici matice

#9 26. 12. 2015 21:55

Re: Lingebra komutujici matice

Zápatí