Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Obrázek:

Poloha pístu u klikového mechanismu na obrázku je daná funkcí
$s(\varphi) = r \cos \varphi + \sqrt{l^2-\left(r\sin \varphi -e\right)^2} \quad (1)$ ,
kde všechny parametry kromě $\varphi$ jsou konstanty. Dále při konstantní úhlové rychlosti $\omega$ platí
$\varphi = \omega t$ a derivováním (1) dostaneme rychlost pístu
$v(\varphi) = \omega \cdot \left[ -r\sin \varphi - \frac{r\cos\varphi \cdot \left(r\sin\varphi - e\right)}{\sqrt{l^2-\left(r\sin\varphi-e\right)^2}} \right] \quad (2)$ ,
obdobně zrychlení je
$a(\varphi) = \omega ^2\cdot \left[-r\cos \varphi + \frac{r\sin\varphi \cdot \left(r\sin\varphi - e\right)-r^2\cos^2\varphi}{\sqrt{l^2-\left(r\sin\varphi-e\right)^2}} - \frac{r^2\cos^2\varphi \left(r\sin\varphi-e\right)^2}{\left(l^2-\left(r\sin\varphi-e\right)^2\right)^{3/2}}\right] \quad (3)$ .

K dotazu: snažím se najít minima a maxima funkcí (1) až (3). Pro (1) to není příliš velký problém, stačí vyřešit (2)=0 což lze na papíře. Pro extrémy rychlosti a zrychlení už to ale na papíře jde dost těžko a nejsem si ani, jistý jestli nějaké analytické řešení existuje. Proto jsem chtěl zkusit použít CAS, ale WolframAlpha ani Maxima se nikam nedostaly. Rád bych se proto zeptal, jestli někdo máte tip jak formulovat vstup pro WA nebo nějaký jiný program aby to zvládnul popř. zda rovnou vidíte, že pokoušet se o analytické řešení nemá smysl. Předem díky za reakce!

check_drummer · 29. 12. 2015 14:51

↑ FliegenderZirkus:
Ahoj, asi zderivovat ručně, upravit na zlomek a dát WA hledat nulový bod čitatele.

FliegenderZirkus · 29. 12. 2015 19:06

↑ check_drummer:
Ahoj, zkusil jsem tu rovnici a=0 upravit a trochu zjednodušit na
$-\cos\varphi \cdot (l^2-(r\sin\varphi-e)^2)^{3/2}+[\sin\varphi\cdot (r\sin\varphi-e)-r\cos^2\varphi]\cdot (l^2-(r\sin\varphi-e)^2)-r\cos^2\varphi \cdot (r\sin\varphi-e)^2=0$ ,
ale ani takto WA nic nevyplivne.
Teprve když zvolím číselné hodnoty parametrů, WA spočítá řešení numericky. Tím myslím můžu své snahy s čistým svědomím vzdát?

check_drummer · 30. 12. 2015 14:25

↑ FliegenderZirkus:
Aha, ty tam máš parametry - tak to je asi skoro bez šance získat nějaký "explicitní vztah", resp. musela by to být velká náhoda (a mít nástoj umožňující symbolické výpočty). Ještě bych zkusil substituci "tan(x/2)", pomocí které lze získat rovnici jen v té proměnné. Ale pak asi získáš rovnici, kterou stejně nebude možné řešeit explicitně.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2015 11:36 — Editoval FliegenderZirkus (29. 12. 2015 18:35)

Minima a maxima funkce jedné proměnné (klikový mechanismus)

#2 29. 12. 2015 14:51

Re: Minima a maxima funkce jedné proměnné (klikový mechanismus)

#3 29. 12. 2015 19:06

Re: Minima a maxima funkce jedné proměnné (klikový mechanismus)

#4 30. 12. 2015 14:25

Re: Minima a maxima funkce jedné proměnné (klikový mechanismus)

Zápatí