Matematické Fórum

Freedy · 02. 01. 2016 16:37

Dobrý večer,

tak mám ještě jeden problém, který je nejspíš úplně triviální, ale já to v tom prostě nevidím.
Zkouším nějak upravit
$\lim_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-1}{x}$
ale pořád se jen točím v kolečku a sebemenší úprava vede vždy na podobnej tvar.
Hrubou silou jsem se vrátil až na začátek příkladu, což také nebylo moc k užitku.

Díky moc.
Freedy

Pavel · 02. 01. 2016 21:06

↑ Freedy:

$\lim_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-1}{x}= \lim_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}}{x} +\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}-1}{x}$

První limita je jasná, druhá se spočítá l'hospitalovým pravidlem.

vanok · 02. 01. 2016 22:38

Pozdravujem.
Alebo zase Taylor okolo 0.

Freedy · 03. 01. 2016 01:41

↑ Pavel:
ano, k tomuto jsem samozřejmě také došel, nicméně L'hospital je ..... asi nemusím zmiňovat..

↑ vanok:
když není L'hospital, tak logicky neni ani Taylor. Sice by to s ním bylo lehčí, ale bohužel.

vanok · 03. 01. 2016 02:05 — Editoval vanok (03. 01. 2016 13:01)

Staci Taylor okolo 0
1/2+x/12+O(x^2).
Edit. Oprava

Freedy · 03. 01. 2016 09:38

Taylor je zatím moc silný nástroj. Tyto limity se dají spočítat bez těchto nástrojů.

Jj · 03. 01. 2016 11:00

↑ Freedy:

Dobrý den.

Nevím, zda jde o korektní a v daném problému rozumně využitelnou úvahu:
Pokud dodefinujeme hodnotu funkce $f(x)=\frac{x e^x}{e^x-1}$ v bodě x = 0 její limitou $\lim_{x\to0}f(x)=1$ ,

pak bych řekl, že

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x e^x}{e^x-1}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$

Sergejevicz · 03. 01. 2016 11:13

↑ Jj:
Já jsem si nad touto limitou a zejména nad limitou z nedávna lámal hlavu dost dlouho. Na tadytu věc s derivací jsem přišel taky, ale když jsem si pak f v tom odkazovaném případě zderivaval, vyšla obludnost, do které stejně nešla nula dosadit, a tak by to vedlo na nějakou tu větu o výpočtu derivace limitou derivací zleva/zprava, ovšem to se pak má limitit ta obludnost, což se mi dělat nechtělo. Říkal jsem si, že to snad musí jít udělat ještě nějak jinak, bez nových obludností. :-)

Jj · 03. 01. 2016 11:37

↑ Sergejevicz:

Jojo :), obludnosti jako by se tam nějak 'indukovaly'.

jarrro · 03. 01. 2016 12:14 — Editoval jarrro (03. 01. 2016 14:35)

$L=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}-1}{x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{2x}{\mathrm{e}^{2x}-1}-1}{x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{2x}{$\mathrm{e}^x+1$$\mathrm{e}^{x}-1$}-1}{x}=\nl =\frac{1}{4}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{2x}{$\mathrm{e}^{x}-1$}-\mathrm{e}^x-1}{x}= \frac{1}{4}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{2x}{$\mathrm{e}^{x}-1$}-\mathrm{e}^x+1-2}{x}=\nl =\frac{1}{4}$-1+2\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}-1}{x}$=-\frac{1}{4}+\frac{L}{2}$
a použiť vzťah od Pavla a ukázať nejako, že limita L existuje a je vlastná (napríklad v pravom okolí nuly je príslušná funkcia klesajúca a kladná)

Pavel · 03. 01. 2016 12:29

↑ Freedy:

Tak tedy bez l'Hospitala:

Využijeme identitu

$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm e^x-1}{x}=1.$

Ukážeme, že platí silnější tvrzení, tj. existuje limita oboustranná.

$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-1}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}}{x} +\lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}-1}{x} =1+\lim_{x\to0}\frac{x-\mathrm{e}^{x}+1}{x(\mathrm e^x-1)} =1+\lim_{x\to0}\frac{x-\mathrm{e}^{x}+1}{x^2}\,.$

Označíme

$L:=\lim_{x\to0}\frac{x-\mathrm{e}^{x}+1}{x^2}.$

Položíme substituci $y=-x$ . Pak

$L=\lim_{y\to0}\frac{-y-\mathrm{e}^{-y}+1}{y^2} =\lim_{y\to0}\frac{-y\,\mathrm{e}^y-1+\mathrm{e}^y}{y^2\,\mathrm{e}^y} =\lim_{y\to0}\frac{-y\,\mathrm{e}^y-1+\mathrm{e}^y}{y^2}$

Obě limity sečteme:

$2L=\lim_{x\to 0}\left(\frac{x-\mathrm{e}^{x}+1}{x^2}+\frac{-x\,\mathrm{e}^x-1+\mathrm{e}^x}{x^2}\right) =\lim_{x\to 0}\frac{x-x\,\mathrm e^x}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{1-\mathrm e^x}{x}=-1.$

Tj. $L=-\frac 12$ , a tedy původní limita vychází

$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}\big(\frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}\big)-1}{x} =1+L=\frac 12\,.$

Jednostranná limita zprava vychází samozřejmě stejně.

Sergejevicz · 03. 01. 2016 13:27

jarrro napsal(a):
...v okolí kladnej nuly...

Podivný výraz "kladná nula" a její sestra "záporná nula". Správně se říká pravé resp. levé okolí nuly. Nula je nula, nula je jen jedna. V knihách jsem zatím pojem kladná/záporná nula rozumě zavedený neviděl. A i kdyby byl, tak uvažujme, že je to pravé/levé okolí nuly, ne? Co by pak ale bylo jeho okolí? Okolí pravého/levého okolí nuly? To je divné, ne?

Jinak tenhle postup s označením limity L a odvozením rovnice pro L jsem tu na fóru už někdy viděl. Připomíná mi to per partes pro integrál ze sin*cos.

Freedy · 03. 01. 2016 13:55

↑ Pavel:
Krásné řešení. Děkuji. :// takovýto postup mě při řešení limit vůbec nenapadne.

jinak díky
↑ Jj: ↑ Sergejevicz: ↑ jarrro: za vaše nápady ;)

F

jarrro · 03. 01. 2016 14:35

↑ Sergejevicz:Opravené dik

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2016 16:37

Ještě jedna limita

#2 02. 01. 2016 21:06

Re: Ještě jedna limita

#3 02. 01. 2016 22:38

Re: Ještě jedna limita

#4 03. 01. 2016 01:41

Re: Ještě jedna limita

#5 03. 01. 2016 02:05 — Editoval vanok (03. 01. 2016 13:01)

Re: Ještě jedna limita

#6 03. 01. 2016 09:38

Re: Ještě jedna limita

#7 03. 01. 2016 11:00

Re: Ještě jedna limita

#8 03. 01. 2016 11:13

Re: Ještě jedna limita

#9 03. 01. 2016 11:37

Re: Ještě jedna limita

#10 03. 01. 2016 12:14 — Editoval jarrro (03. 01. 2016 14:35)

Re: Ještě jedna limita

#11 03. 01. 2016 12:29

Re: Ještě jedna limita

#12 03. 01. 2016 13:27

Re: Ještě jedna limita

jarrro napsal(a):

#13 03. 01. 2016 13:55

Re: Ještě jedna limita

#14 03. 01. 2016 14:35

Re: Ještě jedna limita

Zápatí