Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím,
řeším tuhle kuželosečku pomocí otáčení přes vzorec kde kuželosečka má obecný tvar . Odvození vzorce i odvození nových koeficientů a',c' atd chápu.
Úhel fí bude přesně takový, aby při novém vyjádření rovnice bylo 2b'=0, takže mi vypadne a to chci, abych ji mohl namalovat. V tomto případě mi vyšlo , takže bych čekal, že se elipsa otočí o 45° proti směru hodinových ručiček, tedy v kladném směru otáčení a bude mít hlavní poloosu na ose x. Ona se ale otočí přesně opačně.
Jakto? Vím, že moje úvaha je chybná a něco fatálně přehlížím, ale nevím kde.
Danke schön
Offline
Od boku střelím, jeslti ono to není tím správně si rozmyslet, co je nové a co staré vyjádření, co se vůči čemu otáčí a jak - myslím souřadnice vůči otáčenému objektu. Ono totiž otočit objekt po směru hodinových ručiček je vlastně otočení souřadnic proti směru hodinových ručiček. Hledal bych to v tomhle.
Offline
↑ Sergejevicz:
ahoj, díky za reakci, no ono i kdybych otočil osy o 45° po směru h.r. tak by ta elispa měla být stejně naležato, takže tím to asi nebude, myslím
Offline
↑ holyduke:
Dobrý den.
Řekl bych, že je to tak, jak píše kolega ↑ Sergejevicz: - otáčíme osy souřadnic o + 45° --> v otočených "červených" osách souřadnic bude tudíž elipsa nastojato správně.
Offline
J8 jsem si to odvodil raději taky celé.
SHR := směr hodinových ručiček :-).
Vycházel jsem z transformace
x = p*cos(fi) - q*sin(fi),
y = p*sin(fi) + q*cos(fi).
Zavedu nějaké názvy: p, q resp. x, y jsou staré resp. nové osy. Zavádím to takhle proto, že se na to dívám z pohledu té transformace. Ta něco vstřebává - tomu říkám staré - a něco vydává - a tomu říkám nové. Převádí tedy staré na nové.
A jak? Tato transformace rotuje vektor (p,q) proti SHR o úhel fí vzhledem k souř. osám, resp. souř. osy po SHR vzhledem k vektoru (p,q). Tedy rotace rotuje staré o fí po SHR.
A teď pozor. My uvažujeme rovnici elipsy zapsanou v NOVÝCH osách. Viz obrázek dané elipsy + chceme přejít ke starým osám tak, aby elipsa byla naležato, tak to by staré musely vzniknout z nových otočením ::po:: SHR. Naše transformace ale otáčí obráceně, staré na nové, a tom kontextu to také musíme vyslovit: nové vzniknou ze starých otočením ::proti:: SHR. Naše transformace ale rotuje pro kladné fí po SHR, jak je napsáno v minulém odstavci. Tedy lze očekávat, že fí bude muset být zadáno záporné.
Dosadil jsem do obecné rovnice a požadoval znulování smíšeného členu proměnných p, q. Vyšlo mi
cotg(2*fi) = (a - c)/b,
nikoliv /(2b), jak má kolega. Snad tam nemám chybu. To je jedna věc.
Dál když dosadím z dané rovnice, má být cotg(2*fi) = 0. Záporné fí nejblíže nule je -pi/4. Ovšem ono existuje nekonečně mnoho fí splňujících tu rovnici. Obvyklé je omezit se na interval délky jedné periody, obvykle tedy fi probíhá [0,2*pi), takže 2*fi probíhá [0,4*pi) a na tomto intervalu se cotg nuluje čtyřikrát: v pi/2, 3*pi/2, 5*pi/2 a 7*pi/2. Tedy jsou čtyři možnosti jak znulovat smíšený člen. To je další věc. Některé ty možnosti dávají elipsu nastojato, jiné naležato.
Z poslední možnosti pak dostáváme fí = 7*pi/4, což je vzhledem k 2pí-periodicitě rotace to samé jako těch našich očekávaných -pi/4.
Doufám, že to mám dobře. Už jsem trochu unaven :-). Zase jsem tu byl celý den, teď toho opravdu budu muset nechat, protože od zítřka je práce.
Offline
↑ holyduke:
To zobrazení se konstruuje jako lineární zobrazení z R^2 do R^2. Tedy, jak známo z lin. algebry :-), uvažujeme kanonické báze ve vzoru i obrazu a zobrazíme bázové vektory a jejich souřadnice vzhledem ke kanonické bázi, tj. přímo ty vektory (neb báze je kanonická) napíšeme do sloupců té matice. Ta matice pak vypadá
cos fi -sin fi
sin fi cos fi
s tím, že rotujeme vektor proti SHR vzhledem k osám. Maticově pak rotace vypadá takto:
.
Po aplikování pravidel násobení matic dostaneš tvé dvě rovnice, akorát jinak označené proměnné.
No ale na rotaci vektoru proti osám se můžeme dívat jako na rotaci os proti vektorům opačným smyslem.
Offline
Změnu by do toho vnesla konstrukce otáčecí transformace o opačný úhel, to se akorát přestěhuje mínus v matici k druhému sinu.
Offline