Matematické Fórum

holyduke · 03. 01. 2016 21:15

Zdravím,

řeším tuhle kuželosečku pomocí otáčení přes vzorec $\text{cotg}(2\varphi )=\frac{a-c}{2b}$ kde kuželosečka má obecný tvar $ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0$ . Odvození vzorce i odvození nových koeficientů a',c' atd chápu.

Úhel fí bude přesně takový, aby při novém vyjádření rovnice bylo 2b'=0, takže mi vypadne a to chci, abych ji mohl namalovat. V tomto případě mi vyšlo $\varphi =\frac{\pi }{4}$ , takže bych čekal, že se elipsa otočí o 45° proti směru hodinových ručiček, tedy v kladném směru otáčení a bude mít hlavní poloosu na ose x. Ona se ale otočí přesně opačně.

Jakto? Vím, že moje úvaha je chybná a něco fatálně přehlížím, ale nevím kde.

Danke schön

Sergejevicz · 03. 01. 2016 21:34

Od boku střelím, jeslti ono to není tím správně si rozmyslet, co je nové a co staré vyjádření, co se vůči čemu otáčí a jak - myslím souřadnice vůči otáčenému objektu. Ono totiž otočit objekt po směru hodinových ručiček je vlastně otočení souřadnic proti směru hodinových ručiček. Hledal bych to v tomhle.

holyduke · 03. 01. 2016 21:45

↑ Sergejevicz:
ahoj, díky za reakci, no ono i kdybych otočil osy o 45° po směru h.r. tak by ta elispa měla být stejně naležato, takže tím to asi nebude, myslím

Jj · 03. 01. 2016 22:16 — Editoval Jj (03. 01. 2016 22:16)

↑ holyduke:

Dobrý den.

Řekl bych, že je to tak, jak píše kolega ↑ Sergejevicz: - otáčíme osy souřadnic o + 45° --> v otočených "červených" osách souřadnic bude tudíž elipsa nastojato správně.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

holyduke · 03. 01. 2016 23:20

Aha už je mi to asi jasné. Takže ten vztah $\bar{x}=x\cos \varphi -y\sin \varphi$ a $\bar{y}=y\cos \varphi +x\sin \varphi$ otáčí osy? Měl jsem za to, že otáčí právě grafy funkcí (v mém případě elipsu), protože tak jsem si to odvozoval.

Sergejevicz · 03. 01. 2016 23:43

J8 jsem si to odvodil raději taky celé.

SHR := směr hodinových ručiček :-).

Vycházel jsem z transformace

x = p*cos(fi) - q*sin(fi),
y = p*sin(fi) + q*cos(fi).

Zavedu nějaké názvy: p, q resp. x, y jsou staré resp. nové osy. Zavádím to takhle proto, že se na to dívám z pohledu té transformace. Ta něco vstřebává - tomu říkám staré - a něco vydává - a tomu říkám nové. Převádí tedy staré na nové.

A jak? Tato transformace rotuje vektor (p,q) proti SHR o úhel fí vzhledem k souř. osám, resp. souř. osy po SHR vzhledem k vektoru (p,q). Tedy rotace rotuje staré o fí po SHR.

A teď pozor. My uvažujeme rovnici elipsy zapsanou v NOVÝCH osách. Viz obrázek dané elipsy + chceme přejít ke starým osám tak, aby elipsa byla naležato, tak to by staré musely vzniknout z nových otočením ::po:: SHR. Naše transformace ale otáčí obráceně, staré na nové, a tom kontextu to také musíme vyslovit: nové vzniknou ze starých otočením ::proti:: SHR. Naše transformace ale rotuje pro kladné fí po SHR, jak je napsáno v minulém odstavci. Tedy lze očekávat, že fí bude muset být zadáno záporné.

Dosadil jsem do obecné rovnice a požadoval znulování smíšeného členu proměnných p, q. Vyšlo mi

cotg(2*fi) = (a - c)/b,

nikoliv /(2b), jak má kolega. Snad tam nemám chybu. To je jedna věc.

Dál když dosadím z dané rovnice, má být cotg(2*fi) = 0. Záporné fí nejblíže nule je -pi/4. Ovšem ono existuje nekonečně mnoho fí splňujících tu rovnici. Obvyklé je omezit se na interval délky jedné periody, obvykle tedy fi probíhá [0,2*pi), takže 2*fi probíhá [0,4*pi) a na tomto intervalu se cotg nuluje čtyřikrát: v pi/2, 3*pi/2, 5*pi/2 a 7*pi/2. Tedy jsou čtyři možnosti jak znulovat smíšený člen. To je další věc. Některé ty možnosti dávají elipsu nastojato, jiné naležato.

Z poslední možnosti pak dostáváme fí = 7*pi/4, což je vzhledem k 2pí-periodicitě rotace to samé jako těch našich očekávaných -pi/4.

Doufám, že to mám dobře. Už jsem trochu unaven :-). Zase jsem tu byl celý den, teď toho opravdu budu muset nechat, protože od zítřka je práce.

Sergejevicz · 03. 01. 2016 23:54

↑ holyduke:
To zobrazení se konstruuje jako lineární zobrazení z R^2 do R^2. Tedy, jak známo z lin. algebry :-), uvažujeme kanonické báze ve vzoru i obrazu a zobrazíme bázové vektory a jejich souřadnice vzhledem ke kanonické bázi, tj. přímo ty vektory (neb báze je kanonická) napíšeme do sloupců té matice. Ta matice pak vypadá

cos fi -sin fi
sin fi cos fi

s tím, že rotujeme vektor proti SHR vzhledem k osám. Maticově pak rotace vypadá takto:

$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} p\\ q\\ \end{array} \right)$ .

Po aplikování pravidel násobení matic dostaneš tvé dvě rovnice, akorát jinak označené proměnné.

No ale na rotaci vektoru proti osám se můžeme dívat jako na rotaci os proti vektorům opačným smyslem.

Sergejevicz · 04. 01. 2016 07:23

Změnu by do toho vnesla konstrukce otáčecí transformace o opačný úhel, to se akorát přestěhuje mínus v matici k druhému sinu.

holyduke · 04. 01. 2016 10:32

Díky, už tomu rozumím ;)

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2016 21:15

Otáčení

#2 03. 01. 2016 21:34

Re: Otáčení

#3 03. 01. 2016 21:45

Re: Otáčení

#4 03. 01. 2016 22:16 — Editoval Jj (03. 01. 2016 22:16)

Re: Otáčení

#5 03. 01. 2016 23:20

Re: Otáčení

#6 03. 01. 2016 23:43

Re: Otáčení

#7 03. 01. 2016 23:54

Re: Otáčení

#8 04. 01. 2016 07:23

Re: Otáčení

#9 04. 01. 2016 10:32

Re: Otáčení

Zápatí