Matematické Fórum

Oldulka · 07. 01. 2016 10:13

Prosím o radu:

Dokažte, že vektorový součin je kolmý ke každému z daných vektorů. Potřebuji OBECNÝ důkaz.

Stačí když mi alespoň doporučíte nějaký odkaz, žádný jsem nenašla.

Moc děkuji!

Xellos · 07. 01. 2016 10:30

Ak je definicia $\vec{a}\times \vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\dots)$ (zlozky vektorov 1,2,3) so skalarnym sucinom $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ , potom sa to da tenzorovo pisat ( $\varepsilon$ je Levi-Civitov symbol, len pre pohodlnejsi sposob zapisu bez vypisovania zloziek)

$(\vec{a}\times\vec{b})_k=\varepsilon_{ijk}a_ib_j$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_ib_i$
$\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=a_k\varepsilon_{ijk}a_ib_j=(a_ia_k\varepsilon_{ijk})b_j$

kde vyraz v zatvorke je 0, lebo pri prehodeni indexov $i,k$ sa zmeni jeho znamienko, ale nemoze zmenit jeho hodnota. Podobne pre skalarny sucin s $\vec{b}$ . A nulovost skalarneho sucinu = kolmost.

Oldulka · 07. 01. 2016 10:34

Děkuji, ale potřebovala bych právě toto dokázat, toto je spíše definice než důkaz.

misaH · 07. 01. 2016 11:19

↑ Oldulka:

Mýliš sa.

Oldulka · 07. 01. 2016 11:52

↑ misaH:ok, děkuji. Můžete mi to prosím vypsat a nepoužívat ten Levi-Civituv symbol? Moc tomu zápisu nerozumím.. děkuji mockrát..

Xellos · 08. 01. 2016 12:50

↑ Oldulka:

Tak sa to nauc, je to velmi uzitocne. Vypisovat 18 clenov sa nikomu, vratane mna, nechce; navyse by som v tom asi spravil par chyb, co sa pri takomto symbolickom zapise nestane.

Rumburak

↑ Oldulka:

Ahoj.

Vektorový součin $\vec{a}\times \vec{b}$ vektorů $\vec{a}= (a_1, a_2, a_3), \vec{b}= (b_1, b_2, b_3)$ se dá formálně vyjádřit
determinantem

$\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$ ,

kde $\vec{i} = (1, 0, 0), \vec{j} = (0, 1, 0), \vec{k} = (0, 0, 1)$ , takže jeho rozvinutím podle 1. řádku bude

(1) $\vec{a}\times \vec{b} = \left|\begin{array}{cc}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{array}\right| \vec{i} + \left|\begin{array}{cc}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{array}\right| \vec{j} + \left|\begin{array}{cc}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{array}\right| \vec{k}$ .

(Zřejmě též $\vec{a}\times \vec{b} = -\vec{b}\times \vec{a}$ . ) Dále

(2) $\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_2\vec{k}$ .

Nyní do výrazu $\vec{a}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})$ dosadíme z (1) a (2) a provedme roznásobení.
Co platí o skalárních součinech $\vec{i}\cdot\vec{i}, \vec{i}\cdot\vec{j}$ atd. ?

Sergejevicz · 08. 01. 2016 14:52

↑ Rumburak:
Ta i, j, k se šipkami uvnitř matice obklopené svislými závorkami, to je celkem matoucí, ne? i, j, k jsou vektory s třemi složkami, po jejich přidání k dvěma vektorům do matice by vznikla nějaká obdélníková matice, ale determinant je definován jen pro čtvercové matice.

Já bych vyšel z definice vektorového součinu po složkách, tj. a x b = (a2b3 - a3b2,...,...), a ověřil bych, že a x b je kolmý jak na a, tak na b, tj udělal bych skalární součin a x b s a a zjistil, že je roven nule, podobně pro b.

Vektorový součin se dá i pomocí této podmínky kolmosti ke všem vstupním vektorům definovat, to jen tak na okraj.

Rumburak

↑ Sergejevicz:
Jestli to je matoucí, nevím, ale nevymyslel jsem to já.
I zde bereme determinant ze čtvercové matice, jejíž řádky ovšem nejsou téhož druhu, nicméně požadované
algebraické operace s prvky této matice definovány jsou.
Definovat vektorový součin vzorcem a x b = (a2b3 - a3b2,...,...) sice lze, ale pro mne by to už bylo poněkud náročné
na zapamatování, vzorec s determinantem mi vyhovuje v tomto smyslu lépe. Samozřejmě záleží na osobním
vkusu.

Oldulka · 08. 01. 2016 16:36

↑ Rumburak:dekuji mockrat!! :)

Sergejevicz

Tak pokud výraz $\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$ bereme symbolicky, jako mnemotechnickou pomůcku, a ne "do slova a do písmene", tak pak by to šlo, ale čekal bych to zdůrazněné, že to je ta pomůcka. Já zase neznám tento způsob, naučil jsem se hned od začátku pamatovat si indexy a znaménka, protože to je ten způsob "do slova a do písmene" - vše tam má doslovný smysl a ne jen symbolický.

Matoucím jsem měl na mysli právě to, že v té matici je první řádek řádkem vektorů a ne čísel, jako je tomu u řádků ostatních.

EDIT: Opraveny nějaké překlepy.

Eratosthenes

↑ Sergejevicz:

zápis

$\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$

matoucí v žádném případě není a formálně je zcela v pořádku. Je to determinant matice

$\left( \begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right)$

a matice je zobrazení {1..m}x{1..n} -> X, kde usp. dvojice určují pozici prvku v matici a X je libovolná neprázdná množina. Nikde není řečeno, že její prvky musejí být "stejného druhu". Takže může klidně být

$X=\mathbb{R} \cup vekt\ prostor \cup \{*;@;dvere\ do\ sklepa\}$

Nic ti tedz nebrání ten determinant brát "do slova a do písmene".

Sergejevicz · 08. 01. 2016 22:50

↑ Eratosthenes:
O determinantu obdélníkové matice, ještě navíc s prvky ne z téže množiny, natož pak z téhož tělesa nebo okruhu, slyším poprvé :-).

Rumburak

↑ Oldulka:

Ještě doplním jednu vychytávku, která mne napadla dodatečně.

Z (1) plyne

$\vec{a}\times \vec{b} =$ \left|\begin{array}{cc}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{array}\right| , \left|\begin{array}{cc}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{array}\right|, \left|\begin{array}{cc}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{array}\right|$$ ,

Dále $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ , proto

$\vec{a}\cdot (\vec{a}\times \vec{b}) = a_1 \left|\begin{array}{cc}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{array}\right| + a_2 \left|\begin{array}{cc}a_3&a_1\\b_3&b_1\end{array}\right|+a_3 \left|\begin{array}{cc}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{array}\right|$ ,

kde pravá strana je rovna determinantu

$D = \left|\begin{array}{ccc} a_1&a_2&a_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$ ,

jak se přesvědčíme jeho rozvojem podle prvního řádku. V tomto determinatu se první řádek rovná druhému,
proto $D = 0$ .

Eratosthenes

↑ Sergejevicz:

>> O determinantu obdélníkové matice...slyším poprvé

Já jsem o takovém determinantu slyšel od studentů už mockrát. Ale matice

$\left( \begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right)$

je určitě čtvercová. Determinant je součet součinů, pokud součiny existují a pokud je lze sečíst. Takže třeba

$\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$

neeexistuje, protože nesečteš číslo a vektor. Ale proti

$\left| \begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{array}\right|$

nelze nic mít.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2016 10:13

Vektorový součin

#2 07. 01. 2016 10:30

Re: Vektorový součin

#3 07. 01. 2016 10:34

Re: Vektorový součin

#4 07. 01. 2016 11:19

Re: Vektorový součin

#5 07. 01. 2016 11:52

Re: Vektorový součin

#6 08. 01. 2016 12:50

Re: Vektorový součin

#7 08. 01. 2016 14:47 — Editoval Rumburak (09. 01. 2016 11:31)

Re: Vektorový součin

#8 08. 01. 2016 14:52

Re: Vektorový součin

#9 08. 01. 2016 15:15 — Editoval Rumburak (08. 01. 2016 16:12)

Re: Vektorový součin

#10 08. 01. 2016 16:36

Re: Vektorový součin

#11 08. 01. 2016 16:50 — Editoval Sergejevicz (08. 01. 2016 16:56)

Re: Vektorový součin

#12 08. 01. 2016 22:34 — Editoval Eratosthenes (08. 01. 2016 22:35)

Re: Vektorový součin

#13 08. 01. 2016 22:50

Re: Vektorový součin

#14 09. 01. 2016 11:06 — Editoval Rumburak (09. 01. 2016 11:08)

Re: Vektorový součin

#15 09. 01. 2016 17:40 — Editoval Eratosthenes (09. 01. 2016 17:42)

Re: Vektorový součin

Zápatí