Matematické Fórum

Hansikii · 10. 01. 2016 19:24

Zdravím, ptořebuji poradit jak dořešit tuto limitu posloupnosti.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/49695_limita%2Bforum.png
Můj postup:
Rozšířím vyraz o odmocmoninu $\sqrt{6n+16}-\sqrt{8n+8} *\frac{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+16}}$ a dostanu: $\frac{-2n+8}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}$ , nyní bych vytknul n z čitatele a ze jmenovatele: $\frac{n}{n}* \frac{-2n+8}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}$ a dostal bych: $\frac{\frac{-2n}{n}+8/n}{\sqrt{n*(6+16/n}+\sqrt{n*(8+8/n}}$ , teď bych asi rozpojil odmocininy ve jmenovateli: $\frac{\frac{-2n}{n}+8/n}{\sqrt{n}*\sqrt{6+16/n}+\sqrt{n}*\sqrt{8+8/n}}$ . Jenže teď nevím co dál, kdyby bylo pod odmocninou $n^{2}$ tak bych se těch odmocnin zbavil a znovu bych vytknul a ony by se mi ty n-ka pokratily a zbyly by mně jen ty odmocniny, jenže jak to mám udělat teď. Prosím o pomoc, předem moc děkuji

vytautas · 10. 01. 2016 19:53

$\sqrt{6n+16}-\sqrt{8n+8} *\frac{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+16}}$ ↑ Hansikii:

ahoj, už tu $\frac{-2n+8}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}$ vidíš, čitateľ "rastie" rýchlejšie ako menovateľ, vytknutie krajšie vyzerá, keď to spravíš takto : $\frac{-2n+8}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}=\frac{n}{n} \frac{-2+\frac{8}{n}}{\sqrt{\frac{6}{n}+\frac{16}{n^2}}+\sqrt{\frac{8}{n}+\frac{8}{n^2}}}$

nech $c_n:=-a_n=\frac{2-\frac{8}{n}}{\sqrt{\frac{6}{n}+\frac{16}{n^2}}+\sqrt{\frac{8}{n}+\frac{8}{n^2}}}$

potom môžeš využiť to, že čitateľ je kladný a menovateľ tiež a k tomu ide k nule, čiže sú splnené predpoklady pre vetu o limite funkcie s kladnou a nulovou limitou, a tak $\lim_{n \to \infty} c_n=+ \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = - \infty$

Al1 · 10. 01. 2016 19:58 — Editoval Al1 (10. 01. 2016 19:58)

↑ Hansikii:

Zdravím,

nějak se ztrácím v tvých úpravách

$\lim_{n\to\infty }\frac{-2n-8}{\sqrt{6n+16}+\sqrt{8n+8}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n(-2+\frac{8}{n})}{\sqrt{n}\bigg(\sqrt{6+\frac{16}{n}}+\sqrt{8+\frac{8}{n}}\bigg)}=\lim_{n\to\infty }\frac{\sqrt{n}(-2+\frac{8}{n})}{\sqrt{6+\frac{16}{n}}+\sqrt{8+\frac{8}{n}}}=\ldots$

Freedy · 10. 01. 2016 20:03

↑ vytautas:, ↑ Al1:
K čemu proboha tolik úprav? :O
$\lim_{n\to\infty }\sqrt{6n+16}-\sqrt{8n+8}=\lim_{n\to\infty }\sqrt{n}\cdot \lim_{n\to\infty }\bigg(\sqrt{6+\frac{16}{n}}-\sqrt{8+\frac{8}{n}}\bigg)$
1) $\lim_{n\to\infty }\sqrt{n}=\infty$
2) $\lim_{n\to\infty }\bigg(\sqrt{6+\frac{16}{n}}-\sqrt{8+\frac{8}{n}}\bigg)=\sqrt{6}-\sqrt{8}$
Tedy podle věty o aritmetice limity + známých limit lze rovnou psát:
$\lim_{n\to\infty }\sqrt{n}\cdot \lim_{n\to\infty }\bigg(\sqrt{6+\frac{16}{n}}-\sqrt{8+\frac{8}{n}}\bigg)=\infty \cdot(\sqrt{6}-\sqrt{8})=-\infty$

Al1 · 10. 01. 2016 20:21

↑ Freedy:

Zdravím,

K čemu proboha tolik úprav?

Probůh snad jedná vždy přímočaře, matematici vědí, že k cíli vede více cest. A já obvykle nenutím své metody, jen reaguji na to, co napíší ti, kteří potřebují radu a začnou nějakým svým způsobem.

:-)

Freedy · 10. 01. 2016 20:27

↑ Al1:
$\lim_{n\to\infty }\sqrt{n^2}-\sqrt{n}$
jak by jsi řešil toto? ;) rozšířením?

-.- neříkám, že je špatné uvést metodu, ale aplikovat předučený manuál na všechny limity, kde je odmocnina, bez jakéhokoliv úsudku o limitě, mi přijde poněkud zbytečné.

Hansikii · 10. 01. 2016 20:33

↑ Freedy:
Snazší by bylo zase vytýkat jako nahoře ne ? Vytykal bych $n^{2}$ a dostal bych: 1-0=1

Hansikii · 10. 01. 2016 20:39

↑ Freedy:
Aha chtěl jste rozšířením, tak takto: $\sqrt{n^{2}}-\sqrt{n}*\frac{\sqrt{n^{2}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}+\sqrt{n}}}=\frac{n^{2}-n}{\sqrt{n^{2}}+\sqrt{n}}=\frac{n^{2}}{n^{2}}*\frac{1-1/n}{\sqrt{1}+\sqrt{1/n}}=1*\frac{1}{1}=1$

Sergejevicz · 10. 01. 2016 21:00

↑ Hansikii:
Ještě tedy symbol limity, aby předposlední rovnost platila :-).

Hansikii · 10. 01. 2016 21:01

↑ Sergejevicz:
Samozřejmě ten píšu všude, akorát sem jsem ho nepsal :)

Freedy · 10. 01. 2016 21:04

↑ Hansikii:
za prvé, bylo to myšleno jako narážka na postup, který předvedl Al1 (samozřejmě myšleno v dobrém), že takovéto příklady se neřeší nabiflovanou metodou rozšiřování ale trochou uvažování.
Tato limita zcela určitě nevyjde 1, protože n roste rychleji než odmocnina z n.
Ty jsi v 3 úpravě vytknul z jmenovatele nějakou pozoruhodnou úpravou n^2 i když tam žádné n^2 není.

↑ Sergejevicz:
ani s tím symbolem platit nebude -.-

Al1 · 10. 01. 2016 21:08 — Editoval Al1 (10. 01. 2016 21:09)

↑ Hansikii:

To není spočítáno správně

$\lim_{n\to\infty }\bigg((\sqrt{n^{2}}-\sqrt{n})*\frac{\sqrt{n^{2}}+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{2}+\sqrt{n}}}\bigg)=\lim_{n\to\infty }\frac{n^{2}-n}{\sqrt{n^{2}}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty }\frac{n^{2}(1-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}=\infty$

Ale kolega Freedy chtěl demonstrovat, že rozšíření není vždy nutné. Zde totiž
$\lim_{n\to\infty }(n-\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty }n\bigg(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\bigg)=\infty \cdot (1-0)=\infty$

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2016 19:24

Limita posloupnosti s odmocninou

#2 10. 01. 2016 19:53

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#3 10. 01. 2016 19:58 — Editoval Al1 (10. 01. 2016 19:58)

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#4 10. 01. 2016 20:03

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#5 10. 01. 2016 20:21

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#6 10. 01. 2016 20:27

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#7 10. 01. 2016 20:33

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#8 10. 01. 2016 20:39

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#9 10. 01. 2016 21:00

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#10 10. 01. 2016 21:01

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#11 10. 01. 2016 21:04

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

#12 10. 01. 2016 21:08 — Editoval Al1 (10. 01. 2016 21:09)

Re: Limita posloupnosti s odmocninou

Zápatí