Matematické Fórum

malarad · 11. 01. 2016 23:14

Prosím o nápovědu k příkladu
$\int_{}^{}\frac{1}{1-\cos x}\ \ dx$
definiční obor $x\not =\{2k\pi \}$

Freedy · 11. 01. 2016 23:23

Ahoj,
co třeba:
$\int_{}^{}\frac{1+\cos x}{\sin ^2x}\text{dx}=\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sin ^2x }+\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin ^2x}\text{dx}$

malarad · 11. 01. 2016 23:28

↑ Freedy:
děkuju, jsem sem se taky dostal, ale pak jsem to nějak divně upravoval, cpal jsem tam pak nějakou substituci...jdu se na to podívat

Sergejevicz · 11. 01. 2016 23:50

Tak ten první integrál, na to je přímo vzorec, a ten druhý je jako přichystaný na substituci - v čitateli čeká něčí derivace :-).

malarad · 11. 01. 2016 23:57

↑ Freedy:
Je ten DRUHÝ integrál dobře takto?
$\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin ^{2}x}\ \ dx$ =

$substituce:$
$\sin x=u$
$\frac{du}{dx}=\cos x$
$dx=\frac{du}{\cos x}$

$\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin ^{2}x}\ \ dx$ = $\int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin ^{2}x}\ \ \frac{du}{\cos x}$ = $\int_{}^{}\frac{1}{u^{2}}\ \ du$ = $-\frac{1}{u}+C$ = $-\frac{1}{\sin x}+C$

Bati · 11. 01. 2016 23:58

Ahoj,
protože $1-\cos{x}=2\sin^2{\frac{x}2}$ , lze výseldek napsat rovnou.

malarad · 12. 01. 2016 00:12

↑ Bati: Díky, je můj postup výpočtu druhého integrálu správný? Neshoduje se to s výsledkem v učebnici

Sergejevicz · 12. 01. 2016 00:20

↑ malarad:
Je.

Jak píše ↑ Bati:, je dobrý nápad představit si x jako dvojnásobný argument a přepsat podle toho všechny cosiny a siny. Ukáže se pak snadno možnost substituce tg(x/2), nebo jiný trik.

Bati · 12. 01. 2016 00:21 — Editoval Bati (12. 01. 2016 00:24)

↑ malarad:
Je to dobře, musí se to shodovat. Nejspíš přehlížíš nějakou úpravu.

Předpokládám, že ti vyšlo $-\frac{1}{\sin{x}}-\cot{x}$ , ale v učebnici je $-\cot{\tfrac{x}2}$ , ne?

malarad · 12. 01. 2016 00:24

↑ Sergejevicz:
díky,
z prvního integrálu vyjde $-\text{cotg}x$ ten je tabulkový, z toho druhého jsem spočítal $-\frac{1}{\sin x}+C$

jak tyto dva výsledky dají výsledek, co je v učebnici- $\text{cotg}\frac{x}{2}+C$ ?

Bati · 12. 01. 2016 00:28 — Editoval Bati (12. 01. 2016 00:35)

↑ malarad:
$\ldots=\frac{-2\cos^2{\tfrac{x}2}}{2\sin{\tfrac{x}2}\cos{\tfrac{x}2}}=\ldots$

Sergejevicz · 12. 01. 2016 00:30

Rozepiš si cotg pomocí cos a sin, uprav na společného jmenovatele (C nech stranou) a pak se podívej na x jako na dvojnásobek argumentu, tj. x = 2*(x/2) a použij vzorce pro sin a cos dvojnádobného argumentu. Tím se ti tam dostanou ty poloviny x, pak ještě v čitateli použiješ goniometrickou jedničku, něco se zkrátí a zbyde ti ten cotg(x/2).

malarad · 12. 01. 2016 00:32

Už to mám, děkuju za pomoc

Bati · 12. 01. 2016 00:35

Stejně ale doporučuju použít tu fintu, co jsem doporučoval na začátku. Jde o to, že rozšíření $1+\cos{x}$ funguje jen pro $x\neq(2k+1)\pi$ , což se ve finále projeví jako zbytečně omezující požadavek, protože výsledek $\cot\tfrac{x}2$ je definován i v těchto bodech, narozdíl od toho tvého výsledku.

malarad · 12. 01. 2016 23:22

můžu ještě poprosit o postup krok za krokem, nějak jsem se v tom ztratil, ale ty poloviny argumentů chápu, stejně tak jako $1-\cos{x}=2\sin^2{\frac{x}2}$ , ale pak se ztrácím v tom, jaké užít vztahy.

$\int_{}^{}\frac{1}{1-\cos x}\ \ dx$

takže:
$\int_{}^{}\frac{1}{1-\cos x}\ \ dx$ = $\int_{}^{}\frac{1}{2\sin ^{2}x}dx$ = $.............?$

Jj · 12. 01. 2016 23:50

↑ malarad:

Zdravím.

Drobná substituce (můžete ji třeba dělat jen "v hlavě"): $\frac{x}{2}= u,\quad \frac{dx}{2}=du$
a dostanete tabulkový integrál:

$\int \frac{1}{2 \sin^2\frac{x}{2} } \,dx \sim \int \frac{1}{\sin^2u }\,du=-ctg\,u+C \sim -ctg\,\frac{x}{2}+ C$

malarad

↑ Jj:

děkuji, ta dvojka ve jmenovateli v prvním integrálu se tedy zkrátí s dvojkou v čitateli, která tam "vznikne" přepočtením diferenciálu, pokud se tedy nemýlím

Bati · 13. 01. 2016 00:09 — Editoval Bati (13. 01. 2016 00:09)

↑ malarad:
Přesně tak. Pro mě snažší je zderivovat si v hlavě $(2)\;\cot{\tfrac{x}2}$ .

malarad · 13. 01. 2016 00:27

↑ Bati:
díky, co napsal kolega Jj chápu, ale nevím, jak ses prosím tě dostal k tomuto? $\ldots=\frac{-2\cos^2{\tfrac{x}2}}{2\sin{\tfrac{x}2}\cos{\tfrac{x}2}}=\ldots$

Bati · 13. 01. 2016 00:58

$\frac{-1-\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{-2\cos^2{\tfrac{x}2}}{2\sin{\tfrac{x}2}\cos{\tfrac{x}2}}=\frac{-\cos{\frac{x}2}}{\sin{\frac{x}2}}$ .

malarad

↑ Bati:
díky, já to ještě rozepíšu více
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/45037_definitivn%25C4%259B-matika.JPG

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2016 23:14

Integrál

#2 11. 01. 2016 23:23

Re: Integrál

#3 11. 01. 2016 23:28

Re: Integrál

#4 11. 01. 2016 23:50

Re: Integrál

#5 11. 01. 2016 23:57

Re: Integrál

#6 11. 01. 2016 23:58

Re: Integrál

#7 12. 01. 2016 00:12

Re: Integrál

#8 12. 01. 2016 00:20

Re: Integrál

#9 12. 01. 2016 00:21 — Editoval Bati (12. 01. 2016 00:24)

Re: Integrál

#10 12. 01. 2016 00:24

Re: Integrál

#11 12. 01. 2016 00:28 — Editoval Bati (12. 01. 2016 00:35)

Re: Integrál

#12 12. 01. 2016 00:30

Re: Integrál

#13 12. 01. 2016 00:32

Re: Integrál

#14 12. 01. 2016 00:35

Re: Integrál

#15 12. 01. 2016 23:22

Re: Integrál

#16 12. 01. 2016 23:50

Re: Integrál

#17 12. 01. 2016 23:56 — Editoval malarad (13. 01. 2016 00:00)

Re: Integrál

#18 13. 01. 2016 00:09 — Editoval Bati (13. 01. 2016 00:09)

Re: Integrál

#19 13. 01. 2016 00:27

Re: Integrál

#20 13. 01. 2016 00:58

Re: Integrál

#21 13. 01. 2016 01:18 Příspěvek uživatele malarad byl skryt uživatelem malarad. Důvod: blbě se to píše v LaTexu

#22 13. 01. 2016 01:31 — Editoval malarad (13. 01. 2016 01:32)

Re: Integrál

Zápatí