Matematické Fórum

Skrytý text:
V nekonečnu?

Skrytý text:
Podívejme se blíže na trojúhelník a předpokládejme, že , kde je střed kružnice vepsané, a tedy . Musí platit (jde o střed kružnice vepsané), tedy leží na ose úhlu , tj. na přímce . Obdobně leží na ose úhlu . Protože je úhel pravý, tak máme, že . Trojúhelník je z předpokladu rovnoramenný, proto taktéž a dopočtem do přímého úhlu máme , tedy , tj. buď jsou přímky a totožné, což implikuje , což je spor s tím, že má ležet vně kružnice, nebo je , což si ale vynucuje, že je nekonečně daleko.

Skrytý text:

Označme S2 střed kružnice k2 deltoidu vepsané a A2 (B2) body dotyku k2 a přímky AB (BS). Potom je tedy K:=A2BB2S2 čtverec a protože B i S2 leží na k, tak je (*) |SB|=|SS2|. Ovšem platí |SB|=|SB2|+|B2B|=|SB2|+|B2S2|<|SS2|, což je spor s (*). (V předchozím sledu rovností a nerovností jsme využili v první rovnosti toho, že uvedené body leží na přímce, ve druhé toho, že K je čtverec a ve třetí trojúhelníkovou nerovnost v trojúhelníku SB2S2). Uvedená nerovnost přejde pro bod A "v někonečnu" v rovnost (body B2 a S splynou).