Matematické Fórum

Freedy · 14. 01. 2016 22:18

:) Něco pro lidi ze základní školy.

Máme pomeranč. Ten kolem průměru omotáme provázkem.
Provázkem také omotáme celou zeměkouli (v tomto případě koule) kolem průměru.
Nyní oba provázky prodloužíme o 1 metr a tím pádem vznikne mezera mezi pomerančem a provázkem (provázek bude stále kružnice se středem ve středu pomeranče/zeměkoule)

Otázka je, jaký bude rozdíl mezi mezerou mezi pomerančem a provázkem a zeměkoulí a provázkem.

lucash · 14. 01. 2016 22:33

↑ Freedy:
Pro zakladni skolu bych otazku formuloval trochu jinak.
Napriklad bych se zeptal, jestli pod provazkem proleze mys.
Je to daleko nazornejsi na predstavu..
(Existuje jeste podobna, ale ta uz je obtiznosti pro vejsku; kdyz se provaz zvedne pouze na jednom miste, proleze zirafa? )

Pavel · 15. 01. 2016 12:28

↑ lucash:

Kdyby jenom žirafa, i Petřínská rozhledna se pod provaz bez problému vejde.

check_drummer · 16. 01. 2016 18:50

Pavel napsal(a):
↑ lucash:

Kdyby jenom žirafa, i Petřínská rozhledna se pod provaz bez problému vejde.

Ahoj, jak to? Resp. pochopil jsem zadání úlohy, že prodloužíme provaz o 1m a zvedneme jej na jednom místě?

Pavel · 16. 01. 2016 18:55

↑ check_drummer:

Ano, taky jsem se divil, ale vychází mi to opravdu tak. Chystám ukázat své řešení.

check_drummer · 16. 01. 2016 22:01

↑ Pavel:
Aha, asi budeme musel zvolit tečnu k povrchu Země.. ale i tak je to překvapivé. na druhou stranu, ona je země křivá "dovnitř" (vzhledem k té tečně) a ta křivost se tedy musí kompenzovat dostatečnou vzdáleností od Země.

Pavel · 16. 01. 2016 23:58 — Editoval Pavel (17. 01. 2016 00:05)

Modelujme Zemi jako kružnici $k$ se středem $S$ ve středu Země a poloměrem $r=6378\ \text{km}$ . Zvedneme-li provaz pouze na jednom místě, pak po jeho napnutí vznikne lomená čára, jejíž obě části jsou tečnami ke kružnici, viz obrázek níže.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/83402_provaz.png

Úkolem je zjistit délku úsečky $VZ$ .

Trojúhelníky $\triangle SAV$ a $\triangle SBV$ jsou shodné a navíc pravoúhlé. Proto platí

$|AV|=|BV|&=r\tan\left(\frac{\alpha}2\right)\\[.5\baselineskip] |SV|&=\frac{r}{\cos\left(\frac{\alpha}2\right)}$

Proto $\color{blue}{|VZ|=\frac{r}{\cos\left(\frac{\alpha}2\right)}-r}$ .

Délka $d$ prodlouženého lana o 1m je dána vztahem $d=2\pi r+\frac 1{1000}$ . Na druhé straně lze tuto délku určit jako součet délky konvexního oblouku $AB$ (tj. toho delšího), délky úsečky $AV$ a délky úsečky $BV$ , tj.

$d=2\pi r-\alpha r+2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right).$

Dostáváme rovnici s neznámou $\alpha$ :

$2\pi r-\alpha r+2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=2\pi r+\frac 1{1000}\\ 2r\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha r&=\frac 1{1000}$

Bohužel rovnice je analyticky neřešitelná. Prostřednictvím programu Mathematica v 10.3.1.0 jsem určil její přibližné řešení:

$\alpha\approx 0{,}012345159462941015133$

Dosazením do modrého vztahu tak získáme přiblížnou výšku napnutého provazu v bodě uchopení nad zemským povrchem, tj.

$\boldsymbol{\color{blue}{|VZ|\approx 0{,}1215051905\ \text{km}=121{,}5051905\ \text{m}.}}$

PS. Místa, kde se provaz začne od země zvedat, tj. vzdálenost bodů A a B, jsou od sebe vzdálena ca o 78,737 km

Honzc · 17. 01. 2016 08:56 — Editoval Honzc (19. 01. 2016 06:08)

↑ Freedy:
Kdysi jsem řešil podobnou úlohu jako ↑ Pavel: pouze trochu modifikovanou.
Na zeměkouli položme trubku o průměru 3m. (bylo to voleno tak,aby jí prošel slon)
Otázka: o kolik musíme prodloužit obvod zeměkoule, aby provaz obepínal zeměkouli a položenou trubku?
Mám někde řešení, ale teď ho nemohu najít (snad ho zítra najdu-dnes se mi řešit znovu nechce), ale pokud mne paměť neklame pak řešením bylo něco kolem 3-4mm.

Jinak původní úloha je zcela triviální:
původní obvod: $o=2\pi r$
nový obvod (s prodloužením): $o_{1}=2\pi (r+\triangle r)$ a také $o_{1}=2\pi r+L$ kde $L$ je prodloužení
Pak $\triangle r=\frac{L}{2\pi }$
Protože (jak vidno) $\triangle r$ nezávisí na poloměru kružnice, je mezera u všech kružnic stejná, závislá pouze na prodloužení $L$

Pzn.: Na tuto úlohu jsem kdysi na vojně (cca před 35-ti lety) vyhrál litr vína (podotýkám, že na pokoji byli všichni spolubydlící vysokoškoláci a nikdo z nich mi nevěřil, že to tak je. Dokonce jsme dělali pokus s provázkem, kdy r=0 a pak s uhlákem)

Po editaci: Řešení slon.