Matematické Fórum

fyzika · 19. 01. 2016 21:26 — Editoval fyzika (19. 01. 2016 21:51)

zdravim,

mam problem s nasledujucim prikladom -

Pre ktoré realne hodnoty $\beta$ krivkový integrál $\int_{}^{}(x^{3}+\beta xy)dx-(y^{2}+\beta z)dy-(\beta z-x)dz$ nezávisí od cesty v $R^{3}$ ?
__________________________________________________________________________
Riesil som to v zmysle teorie a teda $\text{rot(P,Q,R)=(0,0,0)=0}$ cize $\text{rot}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y },\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z }, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x })$

Zo zadania
$\int_{}^{}(x^{3}+\beta xy)dx-(y^{2}+\beta z)dy-(\beta z-x)dz$ som si oznacil jednotlive zlozky
ako $P=x^{3}+\beta xy$ , $Q=y^{2}+\beta z$ , $R=\beta z-x$
_____________________________________________________________________________

A čo z toho vyslo? ${rot(P,Q,R)=(-\beta x,-\beta,1)}$ Cize z toho mi vyplyva, ze aj ked zvoolim realnu hodnotu $\beta =0$ ,tak mi ostane $\text{rot(P,Q,R)=(0,0,1)}$ ... Teda neexistuje realne $\beta$ ?

Robim niekde chybu? Dakujem

jelena · 19. 01. 2016 23:19

Zdravím,

složky mám sice jinak uspořádány (pohodlnější je jen porovnávat složky po dvojicích, tak jsou hned rovnice do soustavy, pokud by byla k řešení), ale ve výsledku se shoduji - také mi vychází, že není $\beta$ . Úloha je z nějaké sbírky, je možné náhled? Děkuji.

fyzika · 20. 01. 2016 07:27

↑ jelena:úloha pravdepodobne nie je z mnou známej zbierky, našiel som ju medzi príkladmi z minulých rokov, ktore sa vyskytovali na skuskach. Pozeral som to viackrat, ale zadanie je skutocne taketo, ziadny preklep...

Cize podla vsetkeho skutocne neexistuje riesenie.

jelena · 20. 01. 2016 11:15

↑ fyzika:

ano, vypadá to tak, od kolegů žádnou námitku nevidím (jen pozor na pořadí složek v rot(...)).

Sergejevicz · 20. 01. 2016 12:07

↑ fyzika:
Mně se nelíbí toto:
$\text{rot}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y },\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z }, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x })$

Asi jsi myslel
$\mathrm{rot}(P,Q,R)=(\dots,\dots,\dots)$ , ne?

A hlavně, já to znám tak, že pro vektorové pole $\boldsymbol{v}=(P,Q,R)$ platí
$\mathrm{rot}(\boldsymbol{v})=$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z },\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x }, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y }$$ , tedy SYMBOLICKY jde pomocí vektorového součinu psát výsledek operátoru $\mathrm{rot}$ použitého na vektor $\boldsymbol{v}$ takto:
$\mathrm{rot}(\boldsymbol{v})=\nabla\times\boldsymbol{v}$ ,
kde $\nabla$ je operátorový vektor, a totiž $\nabla=$\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$$ .

Píšu "symbolicky", protože operace $\times$ značí vektorový součin, ale ten by znamenal násobitení jednotlivých složek násobených vektorů mezi sebou, ale tady nejde o násobení složek, ale o aplikaci parciální derivace na složku, což násobení není, ale při vypuštění toho operátoru na vektor se to jako násobení chová. Značení s vektorovým násobením vektorů chápu jako mnemotechnickou pomůcku.

To symbolické značení je fyzikální a není zcela doslovné a přesné, jak vidíme. Já bych proto v tomto případě byl za to značit například $\overline{\times}$ místo $\times$ , aby bylo odlišeno to, že nejde o násobení složek ale o aplikaci parc. derivací.

Myslím tedy, že výsledek by mohl být jinak.

jelena · 20. 01. 2016 12:24

↑ Sergejevicz:

Zdravím,

s kolegou jsme teoretický předpoklad rozebírali v předchozím tématu (a také se mi nelibí uspořádání složek u kolegy - viz můj první příspěvek - používám pomůcku, že na příslušnou souřadnicovou pozici patří rozdíl zbývajících "pozic" parciálně zderivovaných do kříže). Pro snadnou záměnu jednodušší je porovnat složky do rovnic (za předpokladu parciální derivace podle správné proměnné).

Myslím tedy, že výsledek by mohl být jinak.

zkontroluj to, prosím. Děkuji.

fyzika · 20. 01. 2016 12:26 — Editoval fyzika (20. 01. 2016 12:37)

↑ Sergejevicz:ak tomu spravne rozumiem, tak by som zderivoval $P=x^{3}+\beta xy$ , $Q=y^{2}+\beta z$ , $R=\beta z-x$ , podla $\nabla=$\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$$
V tom pripade by bolo $\frac{\partial P}{\partial x}=3x^{2}+\beta y,\frac{\partial Q}{\partial y}=2y,\frac{\partial R}{\partial z}=\beta$ ??? Len potom ako to aplikujem na $\mathrm{rot}(\boldsymbol{v})=$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z },\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x }, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y }$$ ???

fyzika · 20. 01. 2016 12:30 — Editoval fyzika (20. 01. 2016 12:31)

↑ Sergejevicz:
↑ jelena:
$\mathrm{rot}(\boldsymbol{v})=$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z },\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x }, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y }$$ takze toto usporiadanie jednotlivych zloziek je v poriadku ? :)

Sergejevicz

fyzika napsal(a):
↑ Sergejevicz:ak tomu spravne rozumiem, tak by som zderivoval $P=x^{3}+\beta xy$ , $Q=y^{2}+\beta z$ , $R=\beta z-x$ , podla $\nabla=$\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}$$

Chceš P, Q a R derivovat podle $\nabla$ , což je vektor a ještě navíc operátorový? To je nesmysl, ne? :-).

fyzika napsal(a):
V tom pripade by bolo $\frac{\partial P}{\partial x}=3x^{2}+\beta y$ ,...

Asi jsi myslel derivovat P podle x, Q podle y a R podle z, viď?

fyzika napsal(a):
Len potom ako to aplikujem na $\mathrm{rot}(\boldsymbol{v})=$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z },\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x }, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y }$$ ???

No jak je vidět z vzorce pro $\mathrm{rot}$ , tak to do něj aplikovat nejde, protože se tam zrovna tyhle parciální derivace nevyskytují. Zato se tam vyskytuje parc. derivace P podle y, P podle z, Q podle x atd. Vždyť se do toho vzorce podívej. Musíš si napočítat ty parc. der., které v něm jsou, a pak je do něj dosadit a porovnat každou složku s nulou (potenciální vektorové pole musí mít nulovou rotaci).

A ano, tento vzorec pro $\mathrm{rot}$ je správně. Lze ověřit, když se hledá ve skriptech a knihách, nebo na netu.

fyzika · 20. 01. 2016 19:54

↑ Sergejevicz: ${rot(P,Q,R)=(-\beta x,-\beta,1)}$ Tak potom má tvoj príspevok zmietol... veď tie špeciálne destinácie som spočítali a uviedol ešte v úvodnom príspevku a kopírovali aj do tohoto príspevku. Akurát že by sa zmenilo poradie jednotlivých zložiek,no rotacia nebude nulová a teda ide mi o to, ci tá úloha má vôbec riešenie.

fyzika · 20. 01. 2016 20:18

Správne takto ${rot(P,Q,R)=(-\beta,1,-\beta x)}$

Sergejevicz · 20. 01. 2016 21:22

fyzika napsal(a):
Akurát že by sa zmenilo poradie jednotlivých zložiek,no rotacia nebude nulová a teda ide mi o to, ci tá úloha má vôbec riešenie.

Pořadí složek obecně je důležité. A i kdyby teď zrovna v tomto případě nebylo, tak je dobré používat správné vzorce :-). Jestli v tom nemáš někde chybu, tak ta úloha řešení nemá.

Sergejevicz · 20. 01. 2016 21:32

↑ fyzika:
A ještě si zkontroluj znamínka u prvních dvou složek, jak tak na to koukám, tak já je mám opačná. Dělají to ty mínusy před druhou a třetí složkou.

fyzika · 20. 01. 2016 21:59

↑ Sergejevicz:zámienka sú opačne kvôli rozdielu jednotlivých zložiek, samozrejme, boli kladne, no po odpočítaní sú už záporne. Ja tam teda chybu nevidím: )

jelena · 20. 01. 2016 23:33

Zdravím,

↑ fyzika: možné nedorozumění se znaménky se ujasní, pokud minusy v zadání pošleš do závorek:
$\int_{}^{}(x^{3}+\beta xy)dx-(y^{2}+\beta z)dy-(\beta z-x)dz=\int_{}^{}(x^{3}+\beta xy)dx+(-y^{2}-\beta z)dy+(-\beta z+x)dz$ a až potom použiješ P, Q, R.

Jestli v tom nemáš někde chybu, tak ta úloha řešení nemá.

tedy shoda, děkuji.

fyzika · 21. 01. 2016 21:02

↑ jelena: aha, jasne - skolacka chyba :) Dakujem pekne

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 21:26 — Editoval fyzika (19. 01. 2016 21:51)

krivkovy integral

#2 19. 01. 2016 23:19

Re: krivkovy integral

#3 20. 01. 2016 07:27

Re: krivkovy integral

#4 20. 01. 2016 11:15

Re: krivkovy integral

#5 20. 01. 2016 12:07

Re: krivkovy integral

#6 20. 01. 2016 12:24

Re: krivkovy integral

#7 20. 01. 2016 12:26 — Editoval fyzika (20. 01. 2016 12:37)

Re: krivkovy integral

#8 20. 01. 2016 12:30 — Editoval fyzika (20. 01. 2016 12:31)

Re: krivkovy integral

#9 20. 01. 2016 16:17 — Editoval Sergejevicz (20. 01. 2016 16:20)

Re: krivkovy integral

fyzika napsal(a):

fyzika napsal(a):

fyzika napsal(a):

#10 20. 01. 2016 19:54

Re: krivkovy integral

#11 20. 01. 2016 20:18

Re: krivkovy integral

#12 20. 01. 2016 21:22

Re: krivkovy integral

fyzika napsal(a):

#13 20. 01. 2016 21:32

Re: krivkovy integral

#14 20. 01. 2016 21:59

Re: krivkovy integral

#15 20. 01. 2016 23:33

Re: krivkovy integral

#16 21. 01. 2016 21:02

Re: krivkovy integral

Zápatí