Matematické Fórum

malarad · 21. 01. 2016 22:24

Dobrý večer, je můj postup správný?
Jedná se o limitu součinu dvou funkcí, z nichž jedna má limitu rovonou 0 a druhá nekonečno
Upravil jsem tedy na podíl a použil L´Hopitala
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/11393_Tkadlec%2B87-3-c.JPG

mám pokračova v úpravě výrazu?
Děkuju

Freedy · 21. 01. 2016 23:18

Známou limitu
$\lim_{x\to\infty }x\bigg(\frac{\pi }{2}-\text{arctg}x\bigg)=1$
použít nelze?

PS: tuto limitu lze dokázat celkem jednoduchou substitucí ;)

Jj · 22. 01. 2016 10:08

↑ malarad:

Dobrý den.

Pokud L'Hospital, tak bych to zkusil spíš "naopak":

$\lim_{x\to\infty} x(\pi-2\arctan x)=\lim_{x\to\infty} \frac{\pi-2\arctan x}{\frac{1}{x}}=\cdots$

Řekl bych, že to bude jednodušší.

Sergejevicz

↑ malarad:
Je $\lim_{x\to\infty}x$\pi - 2 \arctan x$ = [\text{subst. }y=\arctan x] \lim_{y\to\frac{\pi}{2}-} \tan y$\pi - 2y$ =\\ =\lim_{y\to\frac{\pi}{2}-} \frac{\sin y}{\cos y}$\pi - 2y$ =\\ = \lim_{y\to\frac{\pi}{2}-} \sin y\cdot\frac{\pi - 2y}{\cos y} =\dots$
Roděl na součin limit, v druhé použij $\cos y = \sin(\pi/2 - y)$ a substituci za lineární dvojčlen, vyjde tam standardní limita. Výsledek je smysluplný výraz, takže rozdělení na součin limit je odůvodněno.

EDIT: Myslím, že u většiny limit je skoro jasné, že LH není povolen a má se to zkusit upočítat elementárně. :-)

EDIT 2. Opraveno x na y po substituci.

EDIT 3: Substituce je odůvodněna např. prostotou fce arctan.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2016 22:24

Limita

#2 21. 01. 2016 23:18

Re: Limita

#3 22. 01. 2016 10:08

Re: Limita

#4 22. 01. 2016 10:16 — Editoval Sergejevicz (22. 01. 2016 10:41)

Re: Limita

Zápatí