Matematické Fórum

Optix · 24. 01. 2016 23:02 — Editoval Optix (24. 01. 2016 23:29)

Ahoj všem, budu strašně vděčný za jakoukoli pomoc. Dostal jsem se k úloze kde mam ověřit zda funkce je konvexní zadání je že mame matici A typu n x m a víme ze existuje nezáporné řešení y, $A^{T}y\le c$ a chtěl bych zjistit zdali je funkce $f(b) = min\{c^{T}x; Ax\ge b, x \ge0\}$ .
Moc nevim jak postupovat, chtěl jsem to ověřovat přímo z definice jako přes $\lambda$ ale to jsem dospěl jen k tomu, že ta množina bez minima je konvexní, tak nevim jestli mužu prohlásit ze pak i to min je konvexní (z důvodu ze funkce je konvexní kdyz epigraf je konvexní a tady je to tak nejak podobne).
Předem vsem moc dekuju za pomoc

Brano · 25. 01. 2016 06:50

najprv si over, ze je fcia dobre definovana - t.j. ze $c^Tx$ je na danej mnozine zdola ohranicene
(b.t.w. definicny obor $f$ su take $b$ , ze existuje nezaporne riesenie $Ax\ge b$ )
konvexnost:
nech $f(p)=c^Tx_p$ a $f(q)=c^Tx_q$ kde $x_p,x_q\ge 0$ a teda aj $x_\lambda=\lambda x_p+(1-\lambda)x_q\ge 0$ . A kedze $Ax_p\ge p$ a $Ax_q\ge q$ tak potom
$Ax_\lambda= A(\lambda x_p+(1-\lambda)x_q)=\lambda Ax_p+(1-\lambda)Ax_q\ge \lambda p+(1-\lambda) q$ . Teda
$f( \lambda p+(1-\lambda) q)\le c^Tx_\lambda=\lambda c^Tx_p+(1-\lambda)c^Tx_q= \lambda f(p)+(1-\lambda) f(q)$

Optix · 25. 01. 2016 09:48 — Editoval Optix (25. 01. 2016 09:49)

Díky Brano,
ale mohl bys mi prosím ještě nějak poradit jak s tím definičním oborem?
asi tam musím využít tu informaci že existuje to nezáporné řešení $A^{T}y\le c$ .

Ještě bych měl jednu otázku, když do tohoto zadání zkusím vložit konkrétní hodnoty, třeba v jednorozměrném případě a vložím $A=-3; c=2$ pak nezáporné y existuje např. 0, ale daná funkce mi vychází jako $f(b) = 0, b\in (-\infty ,0]$ a $f(b) = min\{ \emptyset \} = \infty , b\in(0,\infty)$ a taková to funkce není konvexní na R

Brano · 25. 01. 2016 22:20 — Editoval Brano (25. 01. 2016 23:04)

no to sa tam podla mna nehovori, ze ma byt konvexna na R ale snad iba na svojom definicnom obore ktory v tvojom pripade je $(-\infty,0]$ ; ale v podstate ak chces pripustat aj nekonecne hodnoty ako legalne hodnoty f-ka tak tvoj priklad je funkcia ktora je konvexna na R preco by nemala byt?

no a prvej otazke moc nerozumiem ... asi, ze ako sa dokaze ta ohranicenost zdola - tak to je pomerne trivialne
$y^Tb\le y^TAx\le c^Tx$

Optix · 25. 01. 2016 22:32

jo super moc děkuju, já jsem myslel že u toho omezení zdola má být ještě něco, ale je fakt, že tohle to upřesňuje dostatečně :)

Ještě jednou děkuju, moc jsi mi pomohl, já jsem se v tom nějak strašně zamotal

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2016 23:02 — Editoval Optix (24. 01. 2016 23:29)

Konvexní funkce

#2 25. 01. 2016 06:50

Re: Konvexní funkce

#3 25. 01. 2016 09:48 — Editoval Optix (25. 01. 2016 09:49)

Re: Konvexní funkce

#4 25. 01. 2016 22:20 — Editoval Brano (25. 01. 2016 23:04)

Re: Konvexní funkce

#5 25. 01. 2016 22:32

Re: Konvexní funkce

Zápatí