Matematické Fórum

Contemplator · 29. 01. 2016 18:11

Dobrý večer, mám integrál: $\int\frac{dx}{\sin ^{3}x}$ po úprave a subst. som sa dostal do tvaru: $\int\frac{1}{(1-y^{2})\cdot (-1+y^{2})}$ kde som to rozložil podla vztahu: $a^{2}-b^{2}=...$ a počítal cez parcialne zlomky až som sa dostal k tomu že mi v jednej z rovníc vyšlo: $B=\frac{2}{-3+2B}$ a teda nemam ako ziskat hodnoty A, B, C, D ako to treba rozložiť cez tie zlomky, ked nie takto? :)

Al1 · 29. 01. 2016 18:27

↑ Contemplator:

Zdravím,

pokud ještě upravím $\int\frac{1}{(1-y^{2})\cdot (-1+y^{2})}\ dy=\int_{}^{}-\frac{1}{(y-1)^{2}(y+1)^{2}}\ dy$ , pak parciální zlomky mají podobu

$-\frac{1}{(y-1)^{2}(y+1)^{2}}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{(y-1)^{2}}+\frac{C}{y+1}+\frac{D}{(y+1)^{2}}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Contemplator · 29. 01. 2016 23:25

↑ Al1: ahááá, ale ako zistím, keď mám toto $\int\frac{1}{(1-y^{2})\cdot (-1+y^{2})}$ a rozložím to podla $a^{2}-b^{2}=...$ že to tak nemám ďalej rozkladať ako mi to potom nevyšlo, len tým že, sa to ešte dalo dať dokopy ?

A ešte otázka prosím: menovatel $(y+1)^{2}$ sa integruje na čo? alebo ako ho upravím - na ln ani arctg ani na arcsin to nevedie však?

Al1 · 30. 01. 2016 09:57

↑ Contemplator:

Na $\int_{}^{}\frac{1}{(y+1)^{2}}\ dy$ bys použil substituci $y+1=t$ a máš $\int_{}^{}t^{-2}\ dt$

Na vyjádření racionální lomené funkce pomocí parciálních zlomků se podívej sem, je zde vysvětleno, jakou podobu parciální zlomky mají mít.

Contemplator

Ešte k tomu, keď si spravím tú subst. tak, musím nahradiť všetko - teda všetky tie y za t? alebo len tie čo potrebujem a neviem zintegrovať. A takisto by som rád vedel ako sa treba vrátiť k pôvodným premenným - keď prehodím y za t a zintegrujem, tak potom naspäť k y-nu a k x-u, a tie čo ostali len y vrátim naspäť na x ? chápete dúfam aj keď som to napísal celkom idiotsky ....

Al1 · 30. 01. 2016 11:40

↑ Contemplator:

Integrand jsi rozložil na parciální zlomky a můžeš využít toho, že integrál součtu je součet integrálů. Tedy substituci užij vždy u jednoho integrálu. Anebo můžeš užít stejnou substituci pro zlomky se jmenovateli $(y-1), (y-1)^{2}$ a jinou substituci pro zlomky se jmenovateli $(y+1), (y+1)^{2}$

Contemplator · 30. 01. 2016 11:56

↑ Al1: ale ten 2. spôsob je zbytočný, teda aspoň v tomto prípade, pretože menovatele : $(y\pm 1)$ vedú na známy logaritmus . Ale nemusím teda nahrádzať po subst. každú premennú, môžem iba tú ktorú potrebujem?(za predpokladu že ostatné integrály už viem zintegrovať)

Al1 · 30. 01. 2016 12:14 — Editoval Al1 (30. 01. 2016 12:15)

↑ Contemplator:

menovatele : $(y\pm 1)$ vedú na známy logaritmus

Ano, to je zřejmé, podobně jako ti, kdo mají napočítáno, neřeší substituci pro jmenovatele $(y\pm 1)^{2}$ , protože "vidí výpočet"

Má rada byla obecnějšího charakteru především v tom, že můžeš využít toho, že integrál součtu je součet integrálů

Contemplator · 30. 01. 2016 12:45

↑ Al1: Ok, rozumiem, a teda z tej rady vyplýva aj odpoveď na toto?: "Ale nemusím teda nahrádzať po subst. každú premennú, môžem iba tú ktorú potrebujem?(za predpokladu že ostatné integrály už viem zintegrovať)

"

Al1 · 30. 01. 2016 12:51

↑ Contemplator:

Ano, s tím souhlasím.

Contemplator · 30. 01. 2016 13:37

ok, ďakujem:) aj to som potreboval vedieť

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2016 18:11

Integrál s parciálnymi zlomkami

#2 29. 01. 2016 18:27

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#3 29. 01. 2016 23:25

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#4 30. 01. 2016 09:57

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#5 30. 01. 2016 10:36 — Editoval Contemplator (30. 01. 2016 11:13)

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#6 30. 01. 2016 11:40

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#7 30. 01. 2016 11:56

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#8 30. 01. 2016 12:14 — Editoval Al1 (30. 01. 2016 12:15)

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#9 30. 01. 2016 12:45

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#10 30. 01. 2016 12:51

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

#11 30. 01. 2016 13:37

Re: Integrál s parciálnymi zlomkami

Zápatí