Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 01. 2016 22:56 — Editoval liamlim (28. 01. 2016 23:25)

liamlim
Příspěvky: 217
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

součet řady

Ahoj. Mám dotaz ohledně počítání součtů řad. Prosím o radu, jak by šlo "rozumně" přijít například na to, že

$\sum_{n=1}^\infty4^n\cdot\sin^4\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \pi^2$

Totiž takto, jsem v prváku a součty řad jsme ještě vůbec nedělali, jenom mě velmi fascinují. Proto mi jde spíš než o úplně dokonale matematicky správné zdůvodnění klidně i ne úplně formálně správné navedení, jak se vlastně podobné věci počítají.

Já jsem si tento součet (asi ne úplně matematicky správně) spočítal tak, že jsem upravoval $\sin(2^n\cdot x)$ pomocí vztahu pro sinus dvojnásobného úhlu tak, abych se všech kosinů po cestě zbavil. Tím jsem došel k tomu, že

$\sum_{n=1}^\infty4^n\cdot\sin^4\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \lim_{n\to \infty}4^n\cdot\sin^2\left(\frac{\pi}{2^n}\right)= \pi^2$

Proč tento text píšu, když jsem sám spočítal součet řady? Protože vím, že bych ho nespočítal. Já jsem nevěděl vůbec o takové řadě, jen jsem si upravoval $\sin(2^n\cdot x)$ a ta řada tak nějak sama vyplynula. Kdybych naopak například v testu měl součet uvedené řady počítat tak jsem naprosto ztracený. Proto se ptám. Díky!


EDIT:

Naprosto podobně jsem si teď odvodil součet řady s třetími mocninami. Nevíte někdo o nějakém zobecnění? Nebo způsobu jak by se dal v rozumném čase součet spočítat? Zajímalo by mě to.

$\sum_{n=1}^\infty 3^n\cdot\sin^3\left(\frac{\pi}{3^n}\right) = \frac{3}{4}\cdot\lim_{n\to\infty}3^n\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3^n}\right) = \frac{3}{4}\cdot\pi$

Offline

 

#2 29. 01. 2016 12:08 — Editoval Rumburak (29. 01. 2016 14:06)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: součet řady

↑ liamlim:

Ahoj.

Je mnoho konvergentních řad, které sečíst se ještě nikomu nepodařilo.  Stává se i to, že někdo řeší nějaký
úplně jiný matematický problém a součet nějaké konkretní řady pak z toho vyjde jako "bonus".

Další možností je nahradit některou konstatu proměnnou a zkoumat tzv. řadu funkcí, zde například

                $\sum_{n=1}^\infty x^n\cdot\sin^x\left(\frac{\pi}{2^n}\right) $.

(Ale jde opravdu jen o ilustrační příklad, nikoliv o návod, který by zde zaručeně vedl k cíli). Není těžké dokázat,
že tato řada konverguje pro $x \in \langle 0, 1 \rangle $. Jejím součtem pak je $f(x)$,  kde $f$ je neznámá funkce, kterou
chceme určit. Vyšetřováním vlastností takto definované funkce se nám mohou otevřít další cesty postupu.
(Například řadu složenou z funkcí lze za určitých předpokladů derivovat "člen po členu" a pod.)
Konkretní radu ale nabídnout neumím. Obecné pravidlo, jak sčíítat všechny konvergentní řady, zatím neexistuje. :(

Offline

 

#3 29. 01. 2016 13:44

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: součet řady

↑ liamlim:

Identity a postupy, které uvádíš, jsou jednoduché, nicméně dávají hezké výsledky. Bez znalosti triku využívajícího hodnoty sinu v násobcích x netuším, jak by se obě uvedené řady daly sečíst. Možná prostředky komplexní analýzy, ale to jen odhaduji. Dokonce to netuší ani Mathematica v. 10.0.3.. Obecná metoda pro sčítání nekonečných řad není k dispozici. Často je způsob právě opačný - různými postupy se, jako ve Tvém případě, nekonečná řada vytvoří. Odborníkem na to je kolega Marian :-)

Jinak takové elementární nekonečné řady už nedostaneš použitím vzorců pro sinus čtyř a vícenásobného argumentu. Postup bude fungovat i nadále, ale počet členů, které se sčítají, bude v nekonečné řadě postupně narůstat.

Obdobné postupy, resp. nekonečné řady, lze použít, resp. vytvořit, i pomocí tzv. hyperbolických funkcí, pro něž existují velmi podobné identity týkající se jejich hodnot s násobným argumentem.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#4 30. 01. 2016 00:52

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: součet řady

Ahoj ↑ liamlim:,
jak jsi to prosím odvodil? Jak se zbavíš těch kosinů?

Offline

 

#5 30. 01. 2016 02:25 — Editoval liamlim (30. 01. 2016 02:27)

liamlim
Příspěvky: 217
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: součet řady

↑ Bati:

Ahoj,

$\sin(2^n\cdot x) = 2\sin(2^{n-1}\cdot x)\cos(2^{n-1}\cdot x)$
$\sin^2(2^n\cdot x) = 4\sin^2(2^{n-1}\cdot x)\cos^2(2^{n-1}\cdot x)$
$\sin^2(2^n\cdot x) = 4\sin^2(2^{n-1}\cdot x)(1-\sin^2(2^{n-1}\cdot x))$
$\sin^2(2^n\cdot x) = 4\sin^2(2^{n-1}\cdot x) - 4\sin^4(2^{n-1}\cdot x)$

A teď už jen dosazuji za $4\sin^2(2^{n-1}\cdot x)$ dokud se nedostanu k $4^n\sin^2(x)$

Pro $x = \frac{\pi}{2^n}$ dostáváme vlevo 0. Odsud již plyne:  $\sum_{n=1}^\infty4^n\cdot\sin^4\left(\frac{\pi}{2^n}\right) = \lim_{n\to \infty}4^n\cdot\sin^2\left(\frac{\pi}{2^n}\right)= \pi^2$

Offline

 

#6 30. 01. 2016 09:10

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: součet řady

↑ liamlim:
Aha, jasně. Nenapadlo mě to umocnit. Dík.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson