Matematické Fórum

Brano · 29. 01. 2016 23:24

Ahojte, v jednej starej olympiade som nasiel takyto prikladik:

Najdite vsetky $f:R\to R$ take, ze pre vsetky realne $x,y$ plati $f(x^2+f(y))=(x-y)^2f(x+y)$ .

S dodatocnym predpokladom, ze $f$ je spojita v $1$ mi vyslo jedine riesenie $f(x)=-x^2$ . Ale vseobecny pripad neviem.

byk7 · 30. 01. 2016 20:19

Zřejmě jste ěkde dělil nulou, protože $x\mapsto0$ je taky řešením, které je spojité v 1.

Ještě se mi řešení nepodařilo dotáhnout do konce, ale zatím jsem došel k tomu, že hledaná funkce musí být sudá, $f$x^2+f(x)$=0,f(0)=0,f$x^2$=f\bigl(f(x)\bigr),\forall x$ . Nevím ale, jestli to k něčemu bude.

BakyX · 30. 01. 2016 21:15

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 31. 01. 2016 00:26 — Editoval Brano (31. 01. 2016 00:27)

↑ byk7:
ano f=0 som si vsimol, ale prislo mi to ako trivialne riesenie a potom som v dalsom predpokladal, ze hladam take co nie je identicky 0 a s tym som sa zabaval dost dlho az som zabudol, ze tam mam este tamto riesenie; vdaka za doplnenie
↑ BakyX:
pekne