Matematické Fórum

DavidMath

Dobrý den, vážení matematičtí přátelé.'
Měl bych ná Vás, prosím, takový dotaz, a to na výpočet konkrétního integrálu.

Jde o to, že při "testu" jsem dostal zadání integrálu (viz. obrázek). Vím jistě, že mi vyučující říkal, a taky mě to i napadlo, že si musím jmenovatele rozložit na čverec, jiná možnost není, protože Diskriminant je záporný. Vyjde tedy (x - 1/4) nadruhou + 3/16. Co ale dál? Vím, že kamarád se na tento příklad díval a jelikož má zaplacenou licenci na wolfram alpha, tak mu ten příklad vypočítal, ale wolfram alpha je zbytečně složitý v tom, že výsledky převádí na různé odmocniny atd... Chtěl bych se zeptat, jak postupovat při výpočtu. Vím, či tuším, podle svého uvážení a podle wolfram alpha, že výsledek bude arcus tangens ci arcus cotangens něčeho?

Děkuji za pomoc :-)
DM

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-01/65817_12659587_1226476880699738_1347767636_n.jpg

Al1 · 31. 01. 2016 19:47

↑ DavidMath:

Zdravím,

po tvé úpravě zaveď substituci

$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}u$

Al1 · 31. 01. 2016 20:15 — Editoval Al1 (31. 01. 2016 20:16)

↑ DavidMath:

Ano, lze zavést nejprve tuto substituci

$t= (x - 1/4)\nl \ dt=\ dx$ , pak dostaneme $\int_{}^{}\frac{\ dt}{t^{2}+\frac{3}{16}}$ . A nyní zavedeme substituci

$t=\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u\nl \ dt=\sqrt{\frac{3}{16}}\ du$ a počítáme $\sqrt{\frac{3}{16}}\int_{}^{}\frac{\ du}{\frac{3}{16}u^{2}+\frac{3}{16}}$

Pokud ze jmenovatele integrandu vytkneme 3/16, inetegrál lehce spočítáme.

Nakonec je vidět, že mohla být zavedena subtituce $x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}u$ a výsledek by byl týž.

DavidMath · 31. 01. 2016 20:17

↑ DavidMath: A pokud zavedu tedy substituci: t= x-1/4; dt= dx, vyjde integrál 1 / t nadruhou + 3 /16, co dál? Nějak vašemu vysvětlení nerozumím...

Al1 · 31. 01. 2016 20:22

↑ DavidMath:

Znovu zopakuji

A nyní zavedeme substituci

$t=\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u\nl \ dt=\sqrt{\frac{3}{16}}\ du$ a počítáme $\sqrt{\frac{3}{16}}\int_{}^{}\frac{\ du}{\frac{3}{16}u^{2}+\frac{3}{16}}$

Pokud ze jmenovatele integrandu vytkneme 3/16, inetegrál lehce spočítáme.

DavidMath

↑ Al1: Moc nerozumím, proč odmocnina z 3/16? To je první věc, co nechápu a když přeci zderivuji odmocninu z 3/16, tak nevznikne opět to samé, tedy odmocnina 3/16. Nebo ano?
Výsledek má vyjít:
4 * arcustangens (4x+1 / odmocnina ze 3)
__________________________________
ve jmenovateli: (odmocnina ze 3) + c

a když říkáte, ať vytknu před integrál, tak tam má být 16/3 vytknuto a ne 3/16... proto tomu nerozumím, co vysvětlujete

Al1 · 31. 01. 2016 20:31

↑ DavidMath:

Při substituci $t=\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u$ je přece odmocnina konstanta v součinu a ta se derivací nemění

viz třeba $(3x)^{\prime}=3(x)^{\prime}$

A ta substituce je volena tak, abychom mohli získat výraz (zde) $\frac{1}{u^{2}+1}$

Protože po úpravách integrandu dostaneme

$\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u\right)^{2}+\frac{3}{16}}=\frac{1}{\frac{3}{16}u^{2}+\frac{3}{16}}=\frac{1}{\frac{3}{16}(u^{2}+1)}$

DavidMath · 31. 01. 2016 20:37

↑ Al1: Ano, to jste napsal pěkně, (3x)' = 3
takže když si napíšeme třeba odmocninu z x: to je x na 1/2: Po derivaci vznikne tedy 1/2 x na -1/2...
když to hodíme do zlomku, je to 1 / 2 * domocnina z x....
Takže nerozumím vůbec vaší derivaci odmocniny z 3/16 respektive ani nevím, proč zavádět substituci tak složitě, takto to vůbec nepochopím, když to jde jednoduše, tak to přeci vysvětlím jednoduše...

Al1 · 31. 01. 2016 20:46

↑ DavidMath:

Tak abyste si nepletl pojmy a dojmy:

$\sqrt{\frac{3}{16}}$ nemohu derivovat jako funkci $x^{n}$ prostě proto, že je to " pouhá" konstanta. Platí totiž jedno z pravidel pro derivování
$(k\cdot f)^{\prime}=k\cdot f^{\prime}, k\neq0$

A zde máme napsáno
$\left(\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u\right)^{\prime}=\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u^{\prime}=\sqrt{\frac{3}{16}}$

A navržené substituce nejsou vůbec složíté, vždyť se tak pěkně nahrazují.

Je mi líto, že postup stále nechápete. Buď nahlédněte do materiálu, nebo si zkuste přivolat moderátora, máte-li pocit, že vám radím chybně.

DavidMath · 31. 01. 2016 21:12

↑ Al1: Aha, dobře :-) Jinak pořád nevím, jak se dostanu k výsledku
4 * arctg (4x+1 / odmocnina ze 3)
__________________________________
(odmocnina ze 3) + c

Al1 · 31. 01. 2016 21:24

↑ DavidMath:

$\sqrt{\frac{3}{16}}\int_{}^{}\frac{\ du}{\frac{3}{16}u^{2}+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{3}\int_{}^{}\frac{\ du}{u^{2}+1}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}(u)$

a nyní resubtituce
$u=\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{16}}}$ a pak $t=x-\frac{1}{4}$

Výsledek je ovšem
$\frac{4\mathrm{arctg}\left(\frac{4(x\color{red}-\color{black}\frac{1}{4})}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+c$

DavidMath · 31. 01. 2016 23:05

↑ Al1: Moc se omlouvám, vysvětlení jsem sice pochopil, ale v mezikrocích s tou odmocninou se úplně ztrácím. Je mi to blbé takto otravovat, ale mohl byste mi prosím celý příklad napsat, jak jde krok po kroku včetně určení substitucí? Děkuji moc...

Al1 · 01. 02. 2016 07:42

↑ DavidMath:

$\int_{}^{}\frac{1}{x^{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}}\ dx=\int_{}^{}\frac{\ dx}{(x-\frac{1}{4})^{2}+\frac{3}{16}}=$

substituce $x-\frac{1}{4}=t\nl \ dx=\ dt$

$=\int_{}^{}\frac{\ dt}{t^{2}+\frac{3}{16}}=$

substituce $t=\sqrt{\frac{3}{16}}\cdot u\nl \ dt= \sqrt{\frac{3}{16}}\ du$

$\sqrt{\frac{3}{16}}\int_{}^{}\frac{\ du}{\frac{3}{16}u^{2}+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{16}{3}\int_{}^{}\frac{\ du}{u^{2}+1}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}(u)=$

resubstituce $u=\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{16}}}$

$=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{16}}}\right)=$

resubstituce $t=x-\frac{1}{4}$

$=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{x-\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{3}{16}}}\right)+c=\frac{4\sqrt{3}}{3}\mathrm{arctg}\left(\frac{x-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}\right)+c=\nl =\frac{4}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\left(\frac{4(x-\frac{1}{4})}{\sqrt{3}}\right)+c$

Rumburak · 01. 02. 2016 10:20

↑ DavidMath:

Zdravím.

Vedle obecné teorie (úprava kvadratického polynomu, pravidla o počítání derivaci, věta o substituci v integrálu)
je zde potřeba PŘEDEM znát vzorec

$\int \frac{1}{s^2 + 1} \d s = \arctan s + C , s \in (-\infty, +\infty) , C = \mathrm{const}$ .

Další už je jen věcí počtářské invence resp. rutiny.

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2016 19:43 — Editoval DavidMath (31. 01. 2016 19:44)

Integrály

#2 31. 01. 2016 19:47

Re: Integrály

#3 31. 01. 2016 20:09 Příspěvek uživatele DavidMath byl skryt uživatelem DavidMath. Důvod: špatná odpověď

#4 31. 01. 2016 20:15 — Editoval Al1 (31. 01. 2016 20:16)

Re: Integrály

#5 31. 01. 2016 20:17

Re: Integrály

#6 31. 01. 2016 20:22

Re: Integrály

#7 31. 01. 2016 20:24 — Editoval DavidMath (31. 01. 2016 20:25)

Re: Integrály

#8 31. 01. 2016 20:31

Re: Integrály

#9 31. 01. 2016 20:37

Re: Integrály

#10 31. 01. 2016 20:46

Re: Integrály

#11 31. 01. 2016 21:12

Re: Integrály

#12 31. 01. 2016 21:24

Re: Integrály

#13 31. 01. 2016 23:05

Re: Integrály

#14 01. 02. 2016 07:42

Re: Integrály

#15 01. 02. 2016 10:20

Re: Integrály

Zápatí