Matematické Fórum

TerezaG · 16. 02. 2016 00:43

Dobrý den,
mám dánu funkci $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ mám určit definiční obor, průsečíky s osami x a y, limity v krajních bodech def. oboru, asymptoty a vyšetřit monotonii a konvexnost, konkávnost.
Celkově mě ten příklad nějak zrazuje a dost jsem se zasekla.

Řešila jsem tedy takto:

a) Definiční obor mám z podmínky $x>0$ ... $x\subset (0, \infty )$ , průsečíky s osami mám: $[0,0]$ a $[1,0]$

b) Limity:
Tam jsem řešila tedy $\lim_{x\to\infty }\frac{\ln x}{x}$ kde jsem použila l'Hosp. pravidlo a dostala jsem se na $0$ . Dále jsem dala že $\lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{x}$ a vyšlo mi $+\infty$ . Pro $0-$ nemá cenu řešit, není definováno, je tak?

c) Asymptoty jsem řešila podle vzorce: $k=\lim_{x\to\infty }\frac{f(x)}{x}$ a $q=\lim_{x\to\infty }(f(x)-kx)$ , obě mi vyšly $=0$

d) Při řešení stacionárních a inflexních bodů jsem ale narazila na to, že tam žádné nejsou, první a druhá derivace mi výjde s podmínkou že $x$ se nerovná $0$ a nula není v definičním oboru...

To, k čemu jsem se dopočítala v předchozích bodech tím si také nejsem jistá a u těch extrémů opravdu nevím co dělám špatně, ale příjde mi to opravdu divné.

Moc děkuji za pomoc :) budu vděčná.

byk7 · 16. 02. 2016 00:57

a) jak může být průsečíkem bod $[0,0]$ , když je $x>0$

b) limita pro $x\to0^+$ je špatně

c) ok

d) asi máš špatně spočítané derivace, protože jak extrém tak inflexe existují

TerezaG · 16. 02. 2016 01:03

Jak bude tedy limita v podotázce b)?

Derivace mám:

$f'(x)=\frac{\ln x-1}{x^2}$ jako podíl.

$f''(x)=\frac{\ 2x(ln x-1)-x}{x^4}$ . Není to správně?

byk7 · 16. 02. 2016 01:09

První derivace je téměř správně. Je zajímavé, že druhá ti vyšla správně (ještě pokrať xkem).

TerezaG · 16. 02. 2016 11:32

↑ byk7:
Tím pádem, pokud je správně, tak body inflexe a stacionární body jsou v nule, ale ta není v Df.

Rumburak · 16. 02. 2016 12:03

↑ TerezaG:

Ahoj.

Jak bude tedy limita v podotázce b)?

Je $\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x}\cdot \ln x$ , kde pro $x \to 0_+$ máme $\frac{1}{x} \to +\infty$ , $\ln x \to -\infty$ .

Takže ? ...

TerezaG · 16. 02. 2016 12:06

↑ Rumburak:
To je neurčitý výraz

Al1 · 16. 02. 2016 12:11

↑ TerezaG:

Zdravím,

já se vrátím k derivacím. Je zřejmé, že máš chybně zafixovaný vztah pto derivaci podílu dvou funkcí:

$\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}\cdot g-f\cdot g^{\prime}}{g^{2}}$

$\left(\frac{\ln (x)}{x}\right)^{\prime}=\frac{(\ln (x))^{\prime}\cdot x-\ln (x)\cdot x^{\prime}}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}; D_{f^{\prime}}=(0;\infty )$

TerezaG · 16. 02. 2016 12:12

↑ Al1:
Ano, to už jsem si uvědomila, děkuji :)

Rumburak

↑ TerezaG:

V případě $x \to 0_+$ by "neurčitými výrazy" byly např.

$\frac{1}{x} + \ln x$ (typu $\infty -\infty$ ) nebo $\frac {\frac{1}{x}}{\ln x}$ (typu $\frac{\infty}{-\infty}$ čili $-\frac{\infty}{\infty}$ ) ,

kde si obě nekonečna navzájem "konkurují".

Avšak v typech $\infty \cdot \infty$ resp. $-\infty \cdot \infty = - (\infty \cdot \infty)$ obě nekonečna "spolupracují",
takže o neurčité výrazy nejde.

TerezaG · 16. 02. 2016 12:30

↑ Rumburak:
Tak to bude $-\infty$ ?

Al1 · 16. 02. 2016 12:38

↑ TerezaG:

Ano,
$\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln (x)}{x}=-\infty$

TerezaG · 16. 02. 2016 12:39

↑ Al1:
Děkuji, tak teď ty stacionární body a body inflexe?

Al1 · 16. 02. 2016 12:42

↑ TerezaG:

Stacionární body - vyšetřuji pvní derivaci a ptám se, kdy je rovna nule.

Inflexní body - vyšetřuji druhou derivaci a ptám se, kdy je rovna nule.

TerezaG · 16. 02. 2016 12:50

↑ Al1:
Jmenovatel není roven 0, tj. body jsou v nule? Pořád mi to nehraje.

Rumburak · 16. 02. 2016 13:40

↑ TerezaG:

Co Ti nehraje ?

Máme funkci

(1) $f(x)=\frac{\ln x}{x} , x > 0$ .

Najít stacionární body funkce $f$ obecně znamená vyřešit rovnici

(2) $f'(x) = 0$

pro neznámou $x$ . Symbol $f'(x)$ značí derivaci funkce $f$ v bodě $x$ patřícím samozřejmě do definičního oboru
jak funkce $f$ , tak i její derivace $f'$ .

Jak bude vypadat rovnice (2) pro funkci (1) ?

TerezaG · 16. 02. 2016 14:08

↑ Rumburak:

Bude to $\frac{1-\ln x}{x^2}=0$

Al1 · 16. 02. 2016 14:18 — Editoval Al1 (16. 02. 2016 14:22)

↑ byk7:

Zdravím,

v příspěvku #2 s tebou nemohu souhlasit v odpovědi c): ↑ TerezaG: píše, že obě aymptoty jí vyšly 0. Jenže ona počítá jen parametry asymptoty se směrnicí ( ty opravdu vycházejí oba rovny 0) - rovnice asymptoty je y=0. Neřeší ( a ani ty) asymptotu bez směrnice.

Al1 · 16. 02. 2016 14:19

↑ TerezaG:

Ano, pro určení stacionárního bodu.

TerezaG · 16. 02. 2016 14:21

↑ Al1:
Mohl bys prosím přiblížit výpočet dalších asymptot?

TerezaG · 16. 02. 2016 14:29

↑ Al1:
Stacionární bod je $\mathrm{e}^{1}$ ?

Al1 · 16. 02. 2016 14:34

↑ TerezaG:

Ano.

Teď ještě ověřit, zda se jedná o extrém.

Navrhuji asymptoty dořešit po extrémech a inflexních bodech.

TerezaG · 16. 02. 2016 15:11

↑ Al1:

Dobře, takže mi vychází:

Stacionární bod $x=\mathrm{e}^{1}$ intervaly $x\subset (0, \mathrm{e}^{1}> \wedge <\mathrm{e}^{1}, \infty )$ ... v prvním intervalu pokud jsem dosadila do první derivace f'(1)=1 ...funkce ROSTE, po dosazení z druhého intervalu f'(5)= něco záporného...funkce KLESÁ.

Lokální maximum mi vyšlo po dosazení krajního bodu $\mathrm{e}^{1}$ do původní funkce $\frac{\ln \mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{1}}$ jako $\mathrm{e}^{-1}$ a to je kladné, tj jedná se o lokální MAXIMUM.

Druhá derivace vypadá: $f''(x)=\frac{-3+2lnx}{x^3}$ z toho inflexní bod vychází $x=\mathrm{e}^{3/2}$

Intervaly: $x\subset (0, \mathrm{e}^{3/2}> \wedge <\mathrm{e}^{3/2},\infty )$

V prvním intervalu f''(1)=-3 funkce je KONKÁVNÍ
Ve druhém f''(6)= cca 0,5 což je kladné a funkce je KONVEXNÍ

Je to tak?

TerezaG · 16. 02. 2016 15:35

↑ Al1:

A asymptoty jsem vyřešila:

Protože je Df $(0, \infty )$ pak pro asymptotu bez směrnice řeším limitu $\lim_{x\to0+}\frac{lnx}{x}$ mi vychází limita nevlastní a tím pádem existuje asymptota $x=0$ je to tak??

Ty další se směrnicí už jsem vyřešila předtím. Jsou nulové

Al1 · 16. 02. 2016 15:53

↑ TerezaG:

Extrémy:

$[e, e^{-1}]$ je lokální maximum, ale ne proto, že (cituji):" $\mathrm{e}^{-1}$ a to je kladné, tj jedná se o lokální "MAXIMUM.

Pro zhodnocení extrémů máš dvě možnosti:

1.jestliže v levém okolí stacionárního bodu je fce rostoucí a v pravém klesající, pak je v tomto bodě lokální maximum (jeho hodnota může být klidně záporná, fce $y=-(x-2)^{2}-10$ má maximum v bodě $[2; -10]$ a -10 je záporné),
jestliže v levém okolí stacionárního bodu fce klesající a v pravém rostoucí, pak je v tomto bodě lokální minimum.

2. nebo užiješ druhou derivac a dosadíš x stacionárního bodu.Zde
$f''(e)=\frac{-3+2lne}{e^3}=\frac{-1}{e^{3}}<0$ druhá derivace je v bodě záporná - lokální maximum, pokud je kladná-lokální minimum

Ještě také: já asi vím, jak jsi určovala, kdy je první ( i druhá derivace) kladná či záporná, ale jen z toho, že f'(1)=1 nebo
f''(1)=-3 neplyne, že je fce rostoucí (konkávní v intervalu). Zde spíše jen napiš, že nerovnice řešíš metodou nulových bodů

Matematické Fórum

#1 16. 02. 2016 00:43

Limity, asymptoty a monotonie

#2 16. 02. 2016 00:57

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#3 16. 02. 2016 01:03

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#4 16. 02. 2016 01:09

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#5 16. 02. 2016 11:32

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#6 16. 02. 2016 12:03

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#7 16. 02. 2016 12:06

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#8 16. 02. 2016 12:11

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#9 16. 02. 2016 12:12

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#10 16. 02. 2016 12:28 — Editoval Rumburak (16. 02. 2016 13:18)

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#11 16. 02. 2016 12:30

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#12 16. 02. 2016 12:38

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#13 16. 02. 2016 12:39

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#14 16. 02. 2016 12:42

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#15 16. 02. 2016 12:50

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#16 16. 02. 2016 13:40

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#17 16. 02. 2016 14:08

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#18 16. 02. 2016 14:18 — Editoval Al1 (16. 02. 2016 14:22)

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#19 16. 02. 2016 14:19

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#20 16. 02. 2016 14:21

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#21 16. 02. 2016 14:29

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#22 16. 02. 2016 14:34

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#23 16. 02. 2016 15:11

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#24 16. 02. 2016 15:35

Re: Limity, asymptoty a monotonie

#25 16. 02. 2016 15:53

Re: Limity, asymptoty a monotonie

Zápatí