Matematické Fórum

petule16 · 02. 03. 2016 16:51

ahoj, trapi mne pr. $\sum_{1-n*ln(1+1/n)}^{}$
podle prvních nekolika clenu intuitivne urcim, ze rady konverguje k 1, ale neumim najit obecny vzorec pro n-ty clen, nebo najit jiny postup, jak dokazat konvergenci. kdyz radu rozdelim na dve, pak je to $\infty -\infty$ .
dekuji za radu

vanok · 02. 03. 2016 17:19

Ahoj ↑ petule16:,
Popis podrobnejsie tvoje pokusy.
Tvoj zapis nie je velmi citatelny.... Oprav ho prosim.

petule16

↑ vanok:
ukolem je zjistit, zda nekonecna rada $\sum_{n=1}^{\infty }(1-n\cdot \ln (1+1/n))$ konverguje ci diverguje. pokud rozdelim na dve rady $\sum_{n=1}^{\infty }1-\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot \ln (1+1/n)$ pak kazda zvlast diverguje k nekonecnu, ale to mi nepomuze. napsala jsem si nekolik prvnich clenu rady a usoudila, ze rada konverguje k jednicce. vim, ze mohu urcit jako $\lim_{n\to\infty }S_{n}$ , ale neumin najit vzorec pro soucet n-teho clenu. popr. jinou metodu, jak dokazat, ze rada konverguje.
omlouvam se za nejasne zadani, uz jsem pochopila praci s LaTeXem.

Pavel · 02. 03. 2016 19:06

↑ vanok:

Spíše pomůže vyšetření iimity

$\lim_{n\to +\infty}\frac{1-n\ln\left(1+\frac 1n\right)}{\frac 1n}$

vanok · 02. 03. 2016 19:31 — Editoval vanok (02. 03. 2016 19:31)

↑ Pavel:,
Mas pravdu, ze porovnanie z radou n/2 moze pomoct ( i ked to da odpoved na aku kolegina necakala).

petule16 · 02. 03. 2016 19:33

↑ Pavel:
neumim si zduvodnit, proc vysetrovat tuto limitu, proc muzu delit vyrazem 1/n

Pavel · 02. 03. 2016 20:00 — Editoval Pavel (02. 03. 2016 20:01)

↑ petule16:

Použij limitní srovnávací kritérium. Spočítej limitu a uvidíš víc.

vanok · 02. 03. 2016 22:16

↑ petule16:,
Alebo este, studovali ste asymptoticke rozvoje? Tak mas moznost ich vyuzit v tomto cviceni.

No vsak uplne staci ↑ vanok:, ak vypocitas ↑ Pavel:.

petule16 · 03. 03. 2016 08:51

↑ vanok:
asymptoticke rozvoje neumim. jiz jsem se dopracovala k tomu, proc srovnat s radou 1/n. ta ovsem diverguje a tedy puvodni rada by take divergovala. coz je v rozporu s mym predpokladem, jsem ale zacatecnik, tak se na intuici nebudu spolehat. kdyz ovsem spocitam limitu, vysla 0. domnivala jsem se, ze musi vyjit cislo z intervalu (0, $\infty$ ) otevreneho, tedy, ze nesmi vyjit 0 a $\infty$ .

vanok · 03. 03. 2016 09:03 — Editoval vanok (03. 03. 2016 10:46)

Ta limita je 1/2.
Preto tvoja rada a rada clenu 1/2n su zaroven alebo konvergentne alebo divergentne.(take dva rady sa vokaciu ekvivalentne)
A ako si dobre konstatovala tvoja rada preto diverguje.
Ostava ti najst spravne tu limitu.( aby si mala dobry dokaz) cf. ↑ Pavel:

petule16 · 03. 03. 2016 14:36

↑ vanok:
dekuji za pomoc, jiz jsem se dopocitala spravneho vysledku.

PlusPlusPlus · 27. 04. 2016 16:29

Ahoj,
téma je už sice vyřešené, ale ekvivalentně šel příklad vyřešit i intuitivním rozdělením na dvě řady:
$\sum_{k=1}^{n}1-\sum_{k=1}^{n }k\cdot \ln (1+1/k)$
Dále lze nalézt jednotlivé součty prvních n členů dílčích řad:
$\sum_{k=1}^{n}1-\sum_{k=1}^{n }k\cdot \ln (1+1/k)=n-\ln \frac{\left(1+n\right)^n}{n!}$
pravou stranu rovnice upravit:
$\sum_{k=1}^{n}1-\sum_{k=1}^{n }k\cdot \ln (1+1/k)=\ln \frac{e^n\cdot n!}{\left(1+n\right)^n}$
Na závěr stačí dokázat platnost nerovnice a tím divergenci původní řady:
$e^n\cdot n!>\left(1+n\right)^n$

Hoj

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2016 16:51

nekonečné řady, konvergence, součet

#2 02. 03. 2016 17:19

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#3 02. 03. 2016 18:23 — Editoval petule16 (02. 03. 2016 18:35)

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#4 02. 03. 2016 18:55 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Zbytocne

#5 02. 03. 2016 19:06

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#6 02. 03. 2016 19:31 — Editoval vanok (02. 03. 2016 19:31)

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#7 02. 03. 2016 19:33

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#8 02. 03. 2016 20:00 — Editoval Pavel (02. 03. 2016 20:01)

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#9 02. 03. 2016 22:16

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#10 03. 03. 2016 08:51

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#11 03. 03. 2016 09:03 — Editoval vanok (03. 03. 2016 10:46)

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#12 03. 03. 2016 14:36

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

#13 27. 04. 2016 16:29

Re: nekonečné řady, konvergence, součet

Zápatí