Matematické Fórum

real8 · 08. 03. 2016 19:20

Dobrý večer,
mám řešit následující úlohu: Pouze s využitím definice spojitosti dokažte spojitost funkce.
Funkce je ve formátu (s konkrétními zadanými přirozenými čísly a,b,c,d, mně jde ale spíše o postup obecně): $f(x,y,z)=ax+by+cz+d$

Jak bych postupoval já: pomocí souřadnicové projekce ( $[x,y,z] \Rightarrow x$ atd. dokážu (zde tedy definici spojitosti používám) spojitost funkcí x, y, z. Následně pomocí vět o aritmetice spojitých funkcí určím, že také $ax, by, cz$ jsou spojité a jejich součty či rozdíly také.
Nejsem si ovšem jistý, zda řešení přesně odpovídá zadání výše. Je tedy nějaký obecnější postup, jak spojitost polynomů více proměnných dokázat nějak "najednou", aniž bych použil věty o aritmetice nebo skládání spojitých funkcí?

Děkuju

Bati · 08. 03. 2016 20:20

Ahoj,
tvoje řešení zadání neodpovídá, použil jsi nějaké věty. Máš použít jen definici, tzn. k $\varepsilon>0$ najít $\delta>0$ , aby $|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|<\varepsilon$ kdykoliv $[x,y,z]\in U_{\delta}([x_0,y_0,z_0])$ . Pokud použijeme Euklidovskou metriku, pak okolí jsou koule, tj. $U_{\delta}([x_0,y_0,z_0])=\{[x,y,z]:|x-x_0|^2+|y-y_0|^2+|z-z_0|^2<\delta^2\}$ . Pro danou funkci můžeš udělat např. následující odhad:
$|f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)|\leq|a||x-x_0|+|b||y-y_0|+|c||z-z_0|\leq(|a|+|b|+|c|)3\delta$ , odkud je jasné, jak zvolit $\delta$ .

real8 · 08. 03. 2016 21:02 — Editoval real8 (08. 03. 2016 21:03)

Díky moc. Mohu si tedy ověřit, jestli jsem to pochopil správně?
Mějme dejme tomu funkci $f(x,y,z)=2x+3y-2z+6$

Napíšu si definici spojitosti - $\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0: \forall y\subset B(\vec{x},\delta ): f(\vec{y})\subset B(f(\vec{x}),\varepsilon )$

Označím $\vec{y}[x,y,z]$ a $\vec{x}[x_{0},y_{0},z_{0}]$ .

Euklidovská metrika mi říká, že $\varrho (\vec{x},\vec{y})=\sqrt{\Sigma (x_{i}-y_{i}})^{2}$ , tedy v našem případě musí být, že $\{[x,y,z,]:|x-x_{0}|^{2}+|y-y_{0}|^{2}+|z-z_{0}|^{2}<\delta ^{2}\}$ .

Pro $y\subset B(\vec{x},\delta ): |f(x,y,z)-f(x_{0},y_{0},z_{0})|\le 2|x-x_{0}|+3|y-y_{0}|+2|z-z_{0}|\le 7*3*\delta=\varepsilon$

Tedy položím třeba $\delta =\varepsilon /21$

Bati · 08. 03. 2016 21:48

↑ real8:
Ano. Stačilo by i $\varepsilon/9$ . ( $3\max(|a|,|b|,|c|)$ )

Rumburak

↑ real8:

Ahoj.

Podmínka "Pouze s využitím definice spojitosti" znamená co ? Že nesmíme využívat například obecné aritmetické
a jiné vlastnosti reálných čísel ? Pak bychom nedokázali nic. Spíše je míněno, že důkaz má být sestrojen "přímo
dle definice spojitosti", tedy bez použití vět, které o spojitosti pojednávají, například bez použití věty o spojitoti
součtu spojitých funkcí, která by se zde triviálně uplatnila, a pod.

Můžeme si ovšem pomoci tím, že funkci $f(x,y,z)=ax+by+cz+d$ zapíšeme ve vektorovém tvaru

$f(\vec{x}) = \vec{a}\vec{x} + d$ ,

kde $\vec{a} = (a, b, c)$ , $\vec{x} = (x, y, z)$ a $\vec{a}\vec{x}$ je skalární součin příslušných vektorů. Potom

$|f(\vec{x}) - f(\vec{x'})| = |\vec{a}(\vec{x} - \vec{x'})|$ ,

kde pravou stranu odhadneme pomocí Cauchyovy nerovnosti a na to pak už snadno aplikujeme požadovanou
$\varepsilon ... \delta$ gymnastiku.

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2016 19:20

Vyšetření spojitosti funkce více proměnných

#2 08. 03. 2016 20:20

Re: Vyšetření spojitosti funkce více proměnných

#3 08. 03. 2016 21:02 — Editoval real8 (08. 03. 2016 21:03)

Re: Vyšetření spojitosti funkce více proměnných

#4 08. 03. 2016 21:48

Re: Vyšetření spojitosti funkce více proměnných

#5 09. 03. 2016 10:02 — Editoval Rumburak (10. 03. 2016 15:01)

Re: Vyšetření spojitosti funkce více proměnných

Zápatí